递归算法生成全排列-优快云博客

设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。

R的全排列可归纳定义如下：当n=1时，perm( R) = ( r )，其中r是集合R中唯一的元素；当n>1时，perm( R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。

有n个元素，把它们编号为1，2…n，用一个数组A 来存放所生成的排列，然后输出它们。假定开始时n个元素以依次存放在数组A中，为了生成这n个元素的所有排列，可以采取下面的步骤：
（1）第一个元素为1，即排列的第一个元素为1，生成后面n-1个元素的排列。
在这里插入图片描述
在上面的第一步，为生成后面n-1个元素的排列，继续采取下面的步骤：
（1）第二个元素为2，即排列的第二个元素为2，生成后面n-2个元素的排列。

（2）第二个元素和第三个元素互换，使排列的第二个元素为3，生成后面n-2个元素的排列。
在这里插入图片描述
（3）如此继续，最后第二个元素和第n个元素互换，使排列的第二个元素为n，生成后面n-2个元素的排列。

在这里插入图片描述
这种步骤一直继续，当排列的前n-2个元素已确定后，为生成后面2个元素的排列，可以：
（1）第n-1个元素为n-1,即排列的第n-1个元素为n-1，生成后面1个元素的排列,此时n个元素已构成一个排列。
（2）第n-1个元素和第n个元素互换，使排列的第n-1个元素为n，生成后面1个元素的排列,此时n个元素已构成一个排列。
令排列算法perm(A,k,n)表示生成数组后面个元素的排列。通过上面的分析有：
（1）基础步：k=1,只有一个元素，已构成一个排列。
（2）归纳步：对任意的k,1<k<=n完成perm(A,k-1,n),逐一对第n-k元素与第n-k~n元素进行互换，每互换一次，就执行一次perm(A,k -1,n)操作，产生一个排列。
算法可以如下描述：

void perm(int A[],int k,int n)
{
    if(k==1)
        PrintA(n);
    else
    {
        for(int i=n-k+1;i<=n;i++)//初始值k=n,i=1,交换A[1]和A[1],执行perm(A,n-1,n);
                                //i=2,交换A[2]和A[1],执行perm(A,n-1,n);
                                //i=3,交换A[3]和A[1],执行perm(A,n-1,n);
        {
            swap(A[i],A[n-k+1]);
            perm(A,k-1,n);
            swap(A[i],A[n-k+1]);
        }
    }
}

输入

输入只有一行，输入整数n
样例输入：

输出

输出有n!行，输出1-n的n!种排列，每个数字中间有一个空格

样例输出：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2

完整代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
int A[101];
void PrintA(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<A[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
//PrintA时间复杂度：O(n)
void perm(int A[],int k,int n)
{
    if(k==1)
        PrintA(n);
    else
    {
        for(int i=n-k+1;i<=n;i++)//初始值k=n,i=1,交换A[1]和A[1],执行perm(A,n-1,n);
                                //i=2,交换A[2]和A[1],执行perm(A,n-1,n);
                                //i=3,交换A[3]和A[1],执行perm(A,n-1,n);
        {
            swap(A[i],A[n-k+1]);
            perm(A,k-1,n);
            swap(A[i],A[n-k+1]);
        }
    }
}
//perm时间复杂度：O(n!)*O(n)
int main()//1 2 3
{
    int n;
    cin>>n;
    //赋初值
    for(int i=1;i<=n;i++)
        A[i]=i;
    perm(A,n,n);
    return 0;
}