麻省理工的 背包算法 python

折腾很长时间，这一节题目总算可以总结一下了。题目起源于麻省理工的公开课《计算机科学和编程导论》中的例题，背包问题。

原题同想证明动态规划在算法复杂度上的用途。但是题目本身我不太懂，所以程序的思路清理，成为我的障碍（数据结构掌握不好的后果）。

感谢以下作者的指导：

一块铁疙瘩： http://alorry.blog.163.com/blog/static/647257082011629102412655/

Watsy  http://blog.youkuaiyun.com/watsy/article/details/9271785

原题：一个小偷进了人家，发现了很多好东西，但是背包容量有限，无法全部装下，所以就存在拿什么价值最大的问题。

weights = [2, 2, 6, 5, 4] #重量或容积列表

vals = [6, 3, 5, 4, 6]   #价值列表

以下是'一块铁疙瘩‘的分析：

PS：索引即i，为w中的序号，从后往前。相当于数组中第3个元素为w[2]，第2个元素为w[1]，第一个元素为w[0]。其它长度也可依次类推。

图例解释：
最上边2，5，0意思是考虑装入w中的w[2]时背包还能装5个容量，背包中物品价值为0
往左边即不装入w[2]物品，此时考虑装入w[1]时背包中剩余容量仍为5，价值为0
往右边即装入w[2]物品，此时考虑装入w[1]时，背包中升入容量为3，背包中物品价值为8
…………依次类推。直到索引完或者背包容量为0时为止，然后找到此时背包中价值最大的那个即为最优解了。

用递归函数求解； 索引为w从末尾开始向前。按照深度优先、左优先，遍历，。然后回溯计算右子树。 返回左右子树中价值大的价值， 回溯。
由于递归算法产生的大量冗余计算，使得在处理较多数据时效率降低。因此引入m记录已经计算出的结果值，来减少递归运算次数，从而可以明显提高程序运行效率。

而代码的注释，则watsy的比较清晰：

（不过我还是根据铁老递的分析给改了一些，因为第一天看watsy的分析，看不懂的。）

numCount = 0  

   

#version 1  

def MaxVal1(w, v, index, last):  

    """ 

    得到最大价值 

    w为widght 

    v为value 

    index为索引 

    last为剩余重量 

    """  

    global numCount  

    numCount = numCount + 1  

   

    #最底部  

    if index == 0:  

        #是否可以装入  

        if w[index] <= last:  

            return v[index]  

        else:  

            return 0  

   

    #寻找可以装入的分支   ###without_1为左分支，龙城注

    without_l = MaxVal1(w, v, index - 1, last)  

   

    #如果当前的分支大于约束  

    #返回历史查找的最大值  

    if w[index] > last:   ###左分支

        return without_l  

    else:   ###右分支

        #当前分支加入背包，剪掉背包剩余重量，继续寻找  

        with_l = v[index] + MaxVal1(w, v , index - 1, last - w[index])  

   

    #比较最大值   ###左右分支选最大

    return max(with_l , without_l)  

   

#version 2  

def MaxVal2(memo , w, v, index, last):  

    """ 

    得到最大价值 

    w为widght 

    v为value 

    index为索引 

    last为剩余重量 

    """  

   

   

    global numCount  

    numCount = numCount + 1  

   

    try:  

        #以往是否计算过分支，如果计算过，直接返回分支的结果  

        return memo[(index , last)]  

    except:  

        #最底部  

        if index == 0:  

            #是否可以装入  

            if w[index] <= last:  

                return v[index]  

            else:  

                return 0  

   

        #寻找可以装入的分支  

        without_l = MaxVal2(memo , w, v, index - 1, last)  

   

        #如果当前的分支大于约束  

        #返回历史查找的最大值  

        if w[index] > last:  

            return without_l  

        else:  

            #当前分支加入背包，剪掉背包剩余重量，继续寻找  

            with_l = v[index] + MaxVal2(memo , w, v , index - 1, last - w[index])  

   

        #比较最大值  

        maxvalue = max(with_l , without_l)  

        #存储  

        memo[(index , last)] = maxvalue  

        return maxvalue  

   

w = [5, 5, 1, 9 , 10 ,3, 8, 6, 4 , 2, 5, 5, 1, 9 , 10 ,3, 8, 6, 4 , 2]  

v = [7, 7, 6, 5, 4, 8, 11, 4, 2, 3,7, 7, 6, 5, 4, 8, 11, 4, 2, 3]  

   

print MaxVal1(w, v, len(w) - 1, 35) , "caculate count : ", numCount  

   

numCount = 0  

memo = {}  

print MaxVal2(memo , w, v, len(w) - 1, 35) , "caculate count : ", numCount  

计算结果

[plain] view plaincopy

66 caculate count :   188174