关于切割绳子的思考

首先看一个问题,假设在一根$\theta$米长绳子的绳子上面任意作n个记号,取其中离端点最近的作为样本x(1),那么样本的期望是多少?

因为x(1)是样本最小,所以$F(x\leq x_1) = 1-F(x\geq x_1) = 1-(\frac{\theta-x_1}{\theta})^n$

注意到$F(x_1) = \int_0^{x_1} f(x)dx$

$E(x_1) = \int_0^{\theta} f(x_1)x_1dx_1 = F(\theta)*\theta -\int_0^\theta F(x_1)dx_1$

$经计算得:F(\theta)*\theta = \theta...(1)$

$\int_0^{\theta}F(x_1)dx_1 = \int_0^{\theta}(1-(\frac{\theta-x_1}{\theta})^n)dx_1 = \theta -\frac{\theta}{(n+1)}$

$带入上式得:E(x_1) = \frac{\theta}{(n+1)}$

=================我是分割线===========================

有了上面的基础,我们来看一个更加复杂的问题:一个1米长的绳子,如果切割n次,那么最短的一段的期望是多少?

这个问题看似与上面的相似,其实不同。其本质区别在于这里的n次取样是相互影响的。为了解决这个问题,我们可以模仿问题1的解决思路。

把最短的长度计作$x_1,x为任意样本$.

$$注意到F(x_\leq x1) = 1-F(x\geq x_1) = 1-(1-nx_1)^{(n-1)}$$

$$理解:这个式子可以理解为让先保证每一段绳子都有x_1,然后将剩下的部分进行分割然后分配给前面的绳子.$$

$$E(x_1) = \int_{0}^{\frac{1}{n}}x_1f(x_1)dx_1= F(\frac{1}{n})*\frac{1}{n}-\int_{0}^{\frac{1}{n}}F(x_1)*dx_1...(1)$$

$$F(\frac{1}{n})*\frac{1}{n} = \frac{1}{n}$$

$$\int_{0}^{\frac{1}{n}}F(x_1)*dx_1 = \frac{1}{n} - \frac{1}{n}\int_0^1t^{n-1}dt....（换元计算）$$

$$=\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}$$

$$所以带入计算得到E(x_1) = \frac{1}{n^2}$$