【两个双连通分量和O(nlogn)~O(logn)在线求LCA的tarjan算法】

小囧了一下，双连通分量有两种我是前两天才知道的

相关概念参考byv牛的blog，这里记几个关键的点

桥就是dfn[i] < low[j]的边(i, j)

割点就是它发出去的边(i, j)中至少一条满足dfn[i] <= low[j]（这里是要取等号的）

我一般求的是所谓 边双连通分量，实际上就是把桥去掉之后还在一起的点的集合

而这里还有一个 点双连通分量，这个东西实际上就是差不多把割点去掉之后还在一起的边的集合

ps:点 <=> 边,这个东西为什么不反过来叫呢?

求法的话差不多，都是用tarjan算法，不过求边双连通分量时还要开一个边的栈，碰到一条满足dfn[i] <= low[j]的边就退一次栈一直退到这条边

还有一个东西就是那个求LCA的算法

它用到的主要思想就是倍增，求出每个点往上跳2^j步后的点，从而使一个点可以以O(logn)的复杂度跳到它的某个祖先跟前

但是怎么每次询问具体怎么做呢？

第一个简陋的想法就是二分lca的深度，再跳，再判——但是这样一来，每次询问的复杂度就达到了O((logn)^2)，不太理想

有直接logn的方法吗？显然是有的，先让询问的点对(i, j)中深度大的先跳到两个深度一样的地方，再两个一起跳，这样就是O(logn)的复杂度了，不过常数乘了个2

有只跳一轮的方法吗？暂时还没想到

另外，我为什么在这里提一下这个并不是特别漂亮的LCA的方法呢？

尽管这个方法无论是时间还是空间都不是最优的，但它有一个巨大的优势，在线和可扩展

ghy大牛论文中利用欧拉序列求lca的方法难以扩展，无法在求lca的同时求一些附加信息诸如路径上的权值和之类的

有一个离线O(n+q)利用了并查集的方法虽然可扩展性比较强，可是却是离线的

还有一点，这个方法所需求的信息很少，仅用父亲表示法的树就能求出所有东西，而其他的方法都需要把树用邻接表存下来才行

这个优势其实是相当有用的——在一些“扩展版”的树中要求lca的时候这个方法就有着编程复杂度小的优势了

比方说在cactus图(仙人掌图，图中的每条点最多属于一个简单环)中，或是yt的最短路那道题中的每条边最多属于一个简单环的图，如果把一个点能扩展出的块中的点的父亲都改成它，最后这个图就成了一棵树

我们实际上比较容易求出的是最后那棵树的父亲表示法，如果再要重建一个邻接表无疑就麻烦了，这个时候用这个方法求lca就很方便了

 

附集训队yt-最短路的代码，包含了上面说的大部分算法

program syj; uses math; var e,i,j,k,l,ed,tb,t,tp,n,m,task,jj,md:longint; h,a,b,sk,q,low,d,p,f,s:array[0..10005]of longint; next,point,w:array[0..40005]of longint; v:array[0..10005]of boolean; u:array[0..40005]of boolean; fa,g:array[0..15,0..10005]of longint; procedure work; begin i:=point[b[1]];k:=0; inc(tb); for j:=2 to b[0] do begin k:=k+w[b[j-1]]; jj:=point[b[j]]; f[jj]:=tb;fa[0,jj]:=i; p[jj]:=k; end; s[tb]:=k+w[b[b[0]]]; for j:=2 to b[0] do begin jj:=point[b[j]]; g[0,jj]:=min(p[jj],s[tb]-p[jj]); end; end; procedure dfs(i:longint); var j,k:longint; begin inc(t); a[i]:=t;low[i]:=t; inc(tp); sk[tp]:=i; v[i]:=true; j:=h[i]; while j<>0 do begin k:=point[j]; if not u[j] then begin u[j]:=true;u[j xor 1]:=true; inc(ed);q[ed]:=j; if a[k]=0 then begin dfs(k); if low[k]<low[i] then low[i]:=low[k]; end else if v[k]and(a[k]<low[i]) then low[i]:=a[k]; if low[k]>=a[i] then begin b[0]:=0; while q[ed+1]<>j do begin inc(b[0]);b[b[0]]:=q[ed]; dec(ed); end; if b[0]>1 then work else begin fa[0,k]:=i;g[0,k]:=w[j]; end; end; end; j:=next[j]; end; while sk[tp+1]<>i do begin v[sk[tp]]:=false;dec(tp); end; end; procedure find(i:longint); begin if d[i]>0 then exit; find(fa[0,i]); d[i]:=d[fa[0,i]]+1; end; begin assign(input,'path.in');reset(input); assign(output,'path.out');rewrite(output); readln(n,m,task); e:=1; for m:=1 to m do begin readln(i,j,k); inc(e); next[e]:=h[i];point[e]:=j;w[e]:=k;h[i]:=e; inc(e); next[e]:=h[j];point[e]:=i;w[e]:=k;h[j]:=e; end; dfs(1); d[1]:=1; for i:=1 to n do begin find(i); if d[i]>md then md:=d[i]; end; md:=trunc(ln(md-1)/ln(2)+1e-8); for j:=1 to md do for i:=1 to n do begin fa[j,i]:=fa[j-1,fa[j-1,i]]; g[j,i]:=g[j-1,i]+g[j-1,fa[j-1,i]]; end; for task:=1 to task do begin readln(i,j); if d[i]>d[j] then begin k:=i;i:=j;j:=k; end; k:=0; for l:=md downto 0 do if d[fa[l,j]]>=d[i] then begin k:=k+g[l,j]; j:=fa[l,j]; end; if i=j then begin writeln(k);continue; end; for l:=md downto 0 do if fa[l,i]<>fa[l,j] then begin k:=k+g[l,i]+g[l,j]; i:=fa[l,i];j:=fa[l,j]; end; if (f[i]=f[j])and(f[i]<>0) then k:=k+min(abs(p[i]-p[j]),s[f[i]]-abs(p[i]-p[j])) else k:=k+g[0,i]+g[0,j]; writeln(k); end; close(input);close(output); end.