VSLAM基础（六）————超定线性方程组的解法

最新推荐文章于 2025-05-31 09:03:03 发布
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本文介绍了在视觉SLAM（VSLAM）中解决超定线性方程组的方法，特别是关注最小二乘解。内容涵盖了非迭代和迭代解法，强调了在slam问题中寻找最小二乘解的重要性。此外，还讨论了奇异值分解（SVD）在处理Ax=0方程时的作用，以及如何通过特征值或SVD找到最小二乘解。

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vslam前端部分基本讲完了，这里在进入后端之前，先讨论下超定线性方程组的解法，毕竟在slam问题里我们经常会遇到要解超定方程的时候。当然这篇只是介绍一下超定线性方程的解法，非线性方程等到介绍BA时再写吧。

一、Ax=b的解法

对于A矩阵n*m时，一般若n大于m，我们就说这个方程为超定没有解，当然我们slam里一般关心最小二乘解。

线性方程组

可能无解。即任意一组

  

都可能使

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VSLAM基础（七）————光束平差法Bundle Adjustment
potxxx的博客
02-04 1万+
上一篇我们讲了线性的超定方程的解法，这节我们就接着讲讲slam里非线性方程的优化方法。 一、BA光束平差法 偷个图： 首先到底啥是BA呢？ 在slam前端中，我们通过匹配特征点、对极约束、三角化就可以恢复出相机姿态（R，t）与三维物点坐标（用X表示），这两数据是我们通过观测到的像点坐标（用Z表示）求得。 但是实际情况中往往存在大量的噪声，点与点不是精确地对应甚至出现一些错误匹配。 这...
VSLAM基础（一）————常见特征点提取算法及匹配优化
potxxx的博客
02-02 1万+
过年期间闲来无事，就想来把这半年学习的一些视觉知识（视觉slam相关）做个梳理，就以这篇图像特征点提取与匹配作为开头吧。 一、关键点与描述子 关键点：图像上某些特殊的、具有代表的点（常见表示就是图像上的横纵坐标、主方向、尺度等）。 描述子：用一些数学方法描述关键点（常见表示是n维向量）。 1）harris角点检测 角点原理来源于人对角点的感性判断，即图像在各个方向灰度有明显变化。算法的核...
求解超定线性方程组
07-09
采用一般的正规矩阵解法，由于数据量不是很大，所以采用动态内存的方法。同时也是联系一下二维数组的应用，即指向指针的指针。先把数据读入一个矩阵A中，然后计算出ATA，然后读取向量b，计算AT*b，然后利用高斯消元法，得到解的值。
超定方程组求解
zack_liu的博客
11-14 2283
超定方程组求解
超定方程解法：最小二乘法与LDLT分解法详解
最新发布
weixin_35757191的博客
05-31 980
超定方程组是数学中的一种方程组，其方程数量多于未知数数量，常见于物理、工程和数据分析等领域。它的求解过程涉及到从多个可能的解中找到一个最佳拟合解，这个过程通常需要借助于数值分析方法。最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。该方法最早由数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出，并广泛应用于数据拟合、统计分析、信号处理等领域。在处理数据时，我们通常会得到一组离散的数据点，而我们希望找到一个模型或函数来描述这些数据点。
超定方程的求解、最小二乘解、Ax=0、Ax=b的解，求解齐次方程组，求解非齐次方程组（推导十分详细）
热门推荐
一点儿也不萌的萌萌
08-03 1万+
本篇主要介绍的是超定方程组的求解，如果你不想看繁琐的推导过程，你可以直接看红字部分的结论！ 1. 齐次线性方程组 Ax = 0 对于方程Ax=0\bm A \bm x = 0Ax=0，在我们实际的使用中，多数情况下只考虑方程数量多于未知元素的情形——超定方程组。 通过数学表示，可以将超定方程表示为：Ax=0\bm A \bm x = 0Ax=0，A\bm AA是m×nm \times nm×n，且m>nm > nm>n 第一种解法:（求导） 首先，要求解Ax=0\bm A \bm x =
超定方程解法集合汇总
02-18
超定方程组解法： 最小二乘解法 LDLT分解法解超定方程
关于超定方程组的解算方法
ajiaihuiaaa的博客
12-23 6162
关于超定方程组的解算方法 超定方程组就是有很多多余观测量，然后需要通过最小二乘的方式来获得最优解。如果把方程写成矩阵的形式，然后通过简单的变换，就可以得到最优解。 具体请看链接 https://wenku.baidu.com/view/abb9dd06eefdc8d376ee32ca.html 最重要的是下面的这张图： 相当于是矩阵的转置矩阵，矩阵的转置右边的值，然后进行求解，就是最优解了。 ...
VSLAM基础（五）————三角化、PnP、ICP
potxxx的博客
02-03 2615
在之前的章节中我们获得了同名像点从而恢复相片的姿态，接下来就该轮到vslam前端中最后一部分————计算三维点坐标（三角化），并通过三维坐标预测姿态（PnP）。 一、三角化 在单目slam中仅通过单张图像无法获得像素的深度信息，所以我们需要通过三角测量（Triangulation）的方法来估计地图的深度。一般情况是当我们得到两个视图的一组匹配点，我们希望能恢复出世界点在三维世界的坐标。 这里...
VSLAM基础（四）————RANSAC、最小二乘法、DLT
potxxx的博客
02-03 2012
到目前为止，我们已经知道怎么由一系列图像得到它们之间的相对姿态了，在这里暂停一下，插入这篇讨论一下RANSAC、最小二乘、DLT。 一、RANSAC随机抽样一致算法 在vslam中通过对图像进行特征点匹配，然后根据匹配点坐标计算恢复出图像相对姿态。但是匹配会存在误匹配，数据也存在噪声，那么怎么在包含错误点的数据内获得我们想要的最优解呢？我们用到了RANSAC随机抽样一致算法。 RANSAC是...
超定方程组及其求解方法_Dust_Evc
我终于懂了（没懂）博客
08-29 1449
https://blog.youkuaiyun.com/Dust_Evc/article/details/102870731
超定方程组最小二乘法（代码详解）
12-25
内含超定方程组最小二乘法代码，有详解，已经顺利运行通过，希望可以对小伙伴们有帮助！
超定方程组的最小二乘解
01-04
超定方程组的最小二乘解，采用列主高斯消元求解线性方程组进行求解。全C++编写，供各位参考！
递推最小二乘法求解超定线性方程组 Ax=b，MATLAB实现
03-18
采用递推最小二乘法求解超定线性方程组 Ax=b，其中 A 为 mxn 维的已知矩阵，b 为 m 维的已知向量，x 为 n 维的未知向量，其中 n=10，m=10000。A 与 b 中的元素服从独立同 分布的正态分布。绘出横坐标为迭代步数时的收敛精度曲线。
用最小二乘法求解超定方程组
诗小葵的博客
03-07 3170
方程个数大于未知量个数的方程组，不存在解析解，寻求最小二乘解；方程个数等于未知量个数的方程组，存在唯一解析解；方程个数小于未知量个数的方程组，存在无穷多解，寻求一个基本解。要注意的是，定义中说的 “方程个数” 必须基于方程组中任意两个方程不等价的大前提，即不能存在类似于xy1x+y=1xy1和2x2y22x+2y=22x2y2的两个方程。也就是说，如果将方程组写成向量形式AXbAX=bAXb，要保证该方程组的系数矩阵AAA列满秩。
超定方程组解法
weixin_43205692的博客
06-05 1992
超定方程组
程序员的自我修养之数学基础10：超定方程的求解
M&Q的博客
08-29 1252
超定方程 超定方程，即方程个数大于未知量个数的方程组（与之对应的，欠定方程是方程个数小于未知量个数的方程组）。前面说过了，线性方程组可以改写为矩阵的形式的形式。其中，是一个的系数矩阵，是一个n维的列向量。一般情况下，若（或者，更严谨一点的说法是，如果列满秩，且），那么这就是一个超定方程组了。 超定方程一般是不存在解的矛盾方程。例如，两个点一定可以确定一条直线，但是很可能得不到这样一条直线，使它...
超定线性方程组
reason的博客
06-13 2495
from sympy import Matrix from scipy.linalg import lstsq import numpy as np # A = Matrix([[2,3],[1,3],[1,1]]) # b = Matrix([5,3,2]).T # 矩阵有行列之分 # A = np.array([[2,3],[1,3],[1,1]]) # b = np.array([5...
线性代数(四十二) ： 超定方程组
方橙
03-27 1万+
如果一个线性方程组的方程数大于其未知数的个数,这样的方程组就叫做超定方程组(Overdetermined System). 1 超定方程 对于未知量： 很多时候我们不能直接测得他们的值.却可以测得他们的某些线性组合： 假设可以得到m个这样的线性组合,则可以构造方程组: 其中 为各线性组合的测量值,A为mxn的矩阵, 我们需要检查测量值个数m是否大于我们
VSLAM非线性优化
03-18
### VSLAM中的非线性优化实现方法 在视觉同步定位与建图（VSLAM）领域，非线性优化是一种核心的技术手段，用于提高系统的精度和鲁棒性。以下是关于VSLAM中非线性优化的具体实现方法及其相关内容： #### 1. 扩展卡尔曼滤波（EKF） 当系统是非线性的且存在高斯噪声时，扩展卡尔曼滤波（EKF）成为一种常用的解决方案。通过在一阶泰勒展开的基础上对非线性函数进行局部线性化处理，从而使得标准卡尔曼滤波能够应用于更广泛的场景[^3]。 #### 2. 图优化 图优化是另一种广泛使用的非线性优化技术，尤其适用于大规模环境下的状态估计问题。它将整个轨迹表示为节点之间的约束关系网络，并通过对这些约束条件的调整来寻找全局最优解。具体而言，目标是最小化误差项之和，这通常被转化为一个最小二乘问题并采用迭代算法求解[^1]。 #### 3. 高斯牛顿法 (Gauss-Newton Method) 针对复杂的非线性模型, 直接解析求导变得困难重重, 此时可借助数值计算方式完成参数调整过程。其中高斯牛顿法因其简单高效而备受青睐; 它基于二次逼近原理构建搜索方向向量, 并逐步靠近真实极值点位置附近区域直至满足收敛准则为止 [^2]. #### 4. Levenberg-Marquardt Algorithm (LM 法则) 作为改进版形式之一 , LM法则综合考虑了纯梯度下降以及完全Hessian矩阵两种极端情况之间平衡取舍策略 。 当遇到病态方程组或者初始猜测远离实际根部情形下表现尤为突出 ， 同时还能有效避免陷入局部极小值陷阱风险 . ```python import numpy as np def levenberg_marquardt(x_init, f, jacobian_f, lambda_=0.01, max_iter=100, tol=1e-8): x = x_init.copy() for _ in range(max_iter): J = jacobian_f(x) r = f(x) H = J.T @ J + lambda_ * np.eye(len(x)) delta_x = np.linalg.solve(H, -(J.T @ r)) if np.linalg.norm(delta_x) < tol: break x += delta_x return x ``` 上述代码片段展示了如何使用Levenberg-Marquardt算法解决非线性最小二乘问题的一个基本框架实例。 ---
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