第二类斯特林数

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本文详细介绍了第二类斯特林数的概念及其递推公式，并通过一个“pascal”三角形展示了数值的变化规律。第二类斯特林数用于解决将n个不同元素拆分成m个集合的问题，在组合数学中有广泛的应用。

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第二类斯特林数

定义：

第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分，表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数，记为或者。和第一类Stirling数不同的是，集合内是不考虑次序的，而圆排列是有序的。常常用于解决组合数学中几类放球模型。描述为：将n个不同的球放入m个无差别的盒子中，要求盒子非空，有几种方案？

递推式

第二类Stirling数的推导和第一类Stirling数类似，可以从定义出发考虑第n+1个元素的情况，假设要把n+1个元素分成m个集合则分析如下：

（1）如果n个元素构成了m-1个集合，那么第n+1个元素单独构成一个集合。方案数。

（2）如果n个元素已经构成了m个集合，将第n+1个元素插入到任意一个集合。方案数 m*S(n,m) 。

综合两种情况得：

“pascal”三角形

n=0 1

n=1 0 1

n=2 0 1 1

n=3 0 1 3 1

n=4 0 1 7 6 1

n=5 0 1 15 25 10 1

n=6 0 1 31 90 65 15 1

n=7 0 1 63 301 350 140 21 1

n=8 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1

n=9 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1

void init()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
        a[1][1]=1;
    for(int i=2; i<101; ++i)
        for(int j=1; j<=i; j++)
        {
            a[i][j]=(j*a[i-1][j]+a[i-1][j-1])%M;
        }
}