洛谷 P1484 种树 贪心+堆+双向链表

本题其实是在$n$个数中选出至多$k$个数，且两两不相邻，并使所选数的和最大。

很容易想到动规思路：f[i][j]表示种到第i棵树且种了j棵的最大获利，则$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-2][j-1]+a[i])$，注意边界、初始化即可。

但是，对于本题$n<=300000$的数据规模，动规显然不足以通过本题，需要另想算法。

我们先进行小规模枚举：

$k=1$时，显然取n个数中取最大的即可（暂不考虑全负的情况）。设最大的数是$a[i]$。

$k=2$时，则有两种可能：1、另取一个与$a[i]$不相邻的$a[j]$。2、取$a[i-1]$ 和 $a[i+1]$。

我们可以发现：如果$k=1$时最优解为$a[i]$，那么我们便可以把$a[i-1]$和$a[i+1]$进行合并，因为它们要么同时被选，要么同时落选（证明不难，请自行解决）。而且，我们还注意到：当选了$a[i-1]$和$a[i+1]$时，获利便增加了$a[i-1]+a[i+1]-a[i]$。所以当$a[i]$被选时，我们就可以删去$a[i-1]$和$a[i+1]$，并把$a[i]$改成$a[i-1]+a[i+1]-a[i]$，重新找最大的。

每次找的都是最大的数，我们便可以使用堆进行操作，直到堆中最大值小于$0$或取出$k$个数后停止。复杂度$O(klogn)$。

怎么删去$a[i-1]$和$a[i+1]$呢？这里我们使用双向链表的方式来记录每一块$begin-1$和$end+1$。再开一个$vis[i]$数组记录它是否被删去，如果被删去的元素出现在堆顶，直接弹出即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 500000 + 3;

struct HN {
	LL v; int a;
	HN(LL v,int a):v(v),a(a){}
	bool operator < (const HN& rhs) const {
		return v < rhs.v;
	}
};
int n,m;
int l[N],r[N],vis[N];
LL ans = 0;
LL a[N];
priority_queue<HN> q;

int main() {
	ans = 0LL;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld",&a[i]); q.push(HN(a[i],i));
		l[i] = i-1; r[i] = i+1; vis[i] = 0;
	}
	r[0] = 1; l[n+1] = n;
	while(m--) {
		while(vis[q.top().a]) q.pop();
		HN s = q.top(); q.pop();
		if(s.v < 0) break;
		ans += s.v;
		a[s.a] = a[l[s.a]] + a[r[s.a]] - a[s.a];
		vis[l[s.a]] = vis[r[s.a]] = true; a[l[s.a]] = a[r[s.a]] = 0;
		l[s.a] = l[l[s.a]]; r[l[s.a]] = s.a;
		r[s.a] = r[r[s.a]]; l[r[s.a]] = s.a;
		q.push(HN(a[s.a],s.a));
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}