98、机器学习中的模型方法：从混合模型到模型树-优快云博客

机器学习中的模型方法：从混合模型到模型树

1. 混合模型概述

混合模型是一种用于表示数据集中子群体的概率模型。它由多个分量概率分布的加权组合构成，通过将部分成员资格分配给数据集中的各个观测值到分量分布来进行估计。

1.1 定义与原理

混合模型包含概率分布或密度 (D_1, \cdots, D_k) 以及混合权重或比例 (W_1, \cdots, W_k)，其中 (k) 是分量分布的数量。其数学表达式为：
[P(x|D_1, \cdots, D_k, w_1, \cdots, w_k) = \sum_{j = 1}^{k} w_j P(x|D_j)]
这个公式表明混合模型是基于混合的分量分布及其混合权重对数据的概率分布。它可用于密度估计、基于模型的聚类或无监督学习以及分类。

1.2 示例说明

假设有一维数据，绘制在 (x) 轴上并带有刻度和直方图。拟合到该数据的两个混合模型的概率密度如下：
- 单分量混合模型是一个高斯密度，均值约为 2，标准差为 2.3。
- 双分量混合模型有一个均值约为 0 的分量和一个均值约为 4 的分量，这反映了这些简单示例数据是如何人工生成的。双分量混合模型可用于聚类，将其每个分量视为一个簇，并根据数据项属于该分量的相对概率分配簇成员资格。例如，小于 2 的数据更有可能属于均值为 0 的高斯分量。

1.3 动机与背景

混合模型易于应用，在数据表示能力和模型构建的相对简易性之间进行了权衡。在聚类中，混合模型的每个分量分布覆盖一个簇，而混合权重反映了簇的相对比例。例如，两种不同海豹物种的海豹头骨长度的双分量混合模型，一个分量的相对比例可能为 0.3，另一个为 0.7，反映了两个分量的相对频率。

2. 混合模型的估计

为了使用混合模型，建模者或混合模型软件需要根据特定问题领域及其数据集的特征做出以下选择：
1. 分量分布的类型 ：如高斯、多项分布等。
2. 分量分布的数量 (k) 。
3. 分量分布的参数 ：例如，一维高斯分布的参数是均值和标准差，高维高斯分布的参数是均值向量和协方差矩阵。
4. 混合权重 (W_i) 。
5. （可选）分量标签 (c_j) ：仅在潜在类别混合模型框架中使用，其中明确的分量成员资格是模型规范的一部分。其他混合模型框架使用每个数据点对每个分量分布的概率成员资格，因此不需要明确的分量标签。

2.1 常见估计方法

最常见的拟合分布参数和混合权重的方法是使用期望最大化（EM）算法来找到最大似然估计。EM 算法是一种迭代算法，步骤如下：
1. 期望步骤 ：从参数值的初始猜测开始，计算混合权重。
2. 最大化步骤 ：根据这些权重计算参数值。
期望和最大化步骤迭代进行，并且保证收敛，但不能保证找到全局最优解，因此可能需要多次随机重启以找到其他最优解。

2.2 替代搜索策略

除了随机重启，一种好的搜索策略是修改当前的最佳解决方案，例如随机选择拆分、合并、删除或添加分量分布。这也是探索具有不同分量数量的混合模型的一种方法。

2.3 其他估计方法

由于混合模型是概率模型类，除了 EM 算法，还可以使用其他方法，如贝叶斯方法或图形模型方法，包括马尔可夫链蒙特卡罗推理和变分学习。

3. 选择分量数量

在对现实世界数据进行聚类时，混合模型中的分量数量通常是未知的。有许多选择分量数量的方法：
- 最大似然全局最大值 ：为每个数据项选择一个分量，通常不可取。
- 基于信息理论或贝叶斯模型选择的标准 ：在许多领域中选择合理的分量数量。
由于没有普遍接受的聚类或密度估计的最优标准，因此没有普遍接受的方法。使用无限混合模型（使用无限数量的分量）是避免分量数量问题的一种方法。

4. 分量分布的类型

除了高斯分布，还可以使用其他分布：
- 泊松分布 ：用于计数数据。
- 冯·米塞斯分布 ：用于涉及方向或角度的数据。
- 威布尔分布 。
重尾分布需要特别注意，因为当均值或方差为无穷大时，标准估计可能不起作用。

此外，还需要处理连续和分类特征混合的混合模型。例如，对于海豹物种样本的数据，可以使用二项分布来建模男性/女性性别比例，使用高斯分布来建模长度。进一步的扩展是允许分量依赖于协变量，从而产生回归模型的混合，如专家混合模型和分层专家混合模型，它们是用于非线性回归的灵活模型。混合模型与隐马尔可夫模型的结合允许对相关数据进行建模。

5. 大规模数据集的处理

EM 算法可以修改以找到非常大的数据集的混合模型。修改允许对数据进行单次扫描，并涉及识别数据的可压缩区域。

5.1 理论问题

混合模型的一个关键问题是可学习性。分量分布重叠越多，学习就越困难。高维数据也会使学习更加困难。有时可以通过增加数据量来克服这些问题，但在极其困难的情况下，这可能不起作用。另一个问题是足够样本大小与分量数量之间的关系。一种实用的策略是为分量分布设置最小混合权重。例如，对于大小为 100 的数据集，如果要求混合权重大于 0.1，则意味着在这些参数设置下，最多可以从数据中学习到十个分量。

5.2 应用

混合模型软件通常可在通用统计和数据挖掘软件的聚类或密度估计部分找到。用于聚类数据的更专业的混合建模软件包括 Autoclass、Snob 和 mclust。

5.3 关键术语定义

术语	定义
概率分布	离散值随机变量每个值的概率
概率密度	连续随机变量的函数，描述变量空间中给定点的概率
高斯分布	钟形概率密度函数，在均值处有峰值，有均值和标准差两个参数
混合权重	混合模型的参数，给出每个分量分布的相对权重，权重在 0 到 1 之间且总和为 1，在聚类应用中可解释为簇相对于总体的相对大小

5.4 混合模型估计流程

graph LR
    A[开始] --> B[选择分量分布类型]
    B --> C[确定分量数量 k]
    C --> D[设置分量分布参数]
    D --> E[设置混合权重 Wi]
    E --> F{是否需要分量标签}
    F -- 是 --> G[设置分量标签 cj]
    F -- 否 --> H[使用 EM 算法]
    G --> H
    H --> I[期望步骤：计算混合权重]
    I --> J[最大化步骤：计算参数值]
    J --> K{是否收敛}
    K -- 否 --> I
    K -- 是 --> L[结束]

6. 模型评估

模型评估是评估模型一个或多个属性的过程。

6.1 动机与背景

评估已学习模型的有效性通常很有价值，这种评估通常是相对的，即评估几个替代模型中哪个最适合特定应用。

6.2 评估指标

有许多指标可用于评估模型，每个指标的相对重要性因应用而异：
- 预测有效性 ：如准确性、提升、平均绝对误差、均方误差、负预测值、正预测值、精度、召回率、灵敏度、特异性以及基于 ROC 分析的各种指标。
- 计算问题 ：如模型的大小或执行时间。
- 可理解性 ：模型对用户的可理解程度，或与用户对应用领域的先验信念和理解的一致性。

6.3 评估注意事项

在评估从数据中学习的模型的预测有效性时，为了获得其在新数据上可能性能的可靠估计，不能通过考虑其在学习数据上的性能来评估。因为学习算法必须对训练数据中未包含的实例空间区域进行插值预测，推断的模型在训练数据表示的区域可能比未表示的区域更准确，所以对未包含在训练数据中的实例的预测可能不太准确。在训练数据上计算的估计称为重代入估计，例如，模型在其学习的训练数据上的误差称为重代入误差。

6.4 评估技术

算法评估技术，如交叉验证、留出评估和自助采样，旨在提供比在训练数据上评估更可靠的模型准确性估计。

6.5 模型评估流程

graph LR
    A[开始] --> B[选择评估指标]
    B --> C{是否使用训练数据评估}
    C -- 是 --> D[计算重代入估计]
    C -- 否 --> E[选择评估技术]
    D --> F[评估模型]
    E --> F
    F --> G[得出评估结果]
    G --> H[结束]

7. 模型树

模型树是一种监督学习方法，用于获得基于树的回归模型，类似于回归树，但叶子节点包含功能模型而非常量。

7.1 定义与问题背景

在多个回归问题中，通常给定目标连续变量 (Y) 和 (p) 个预测变量向量 (x = X_1, \cdots, X_p) 的 (n) 个观测值的训练样本。模型树提供了对未知回归函数 (Y = f(x) + \epsilon) 的近似，其中 (Y \in \mathbb{R}) 且 (\epsilon \sim N(0, \sigma^2))。模型树的叶子通常包含线性回归模型，但也有一些工作考虑其他类型的模型。

7.2 动机与背景

模型树的动机是克服回归树由于其分段常量近似而导致的一些已知局限性。回归树在叶子节点使用常量，提供了粗粒度的函数近似，在某些领域导致准确性较差。模型树试图通过在叶子节点使用更复杂的模型来克服这一问题。带有线性模型的树最早在 1976 年和 1979 年被考虑，后来有人将模型树的概念扩展到其他类型的模型，如核回归和其他局部回归模型。然而，叶子节点使用的模型的复杂性增加了模型树的计算复杂度，并降低了其可解释性。

7.3 学习系统结构

模型树的方法可以从两个维度进行区分：
1. 选择每个节点最佳分割的标准 ：即指导树划分的标准，主要考虑计算效率。选择最佳分割节点涉及评估许多候选分割，对于二元分割（基于树的模型中最常见的分割），评估包括计算分割产生的误差减少：
[
\Delta(s, t) = Err(t) - \left(\frac{n_{tL}}{n_t} \times Err(t_L) + \frac{n_{tR}}{n_t} \times Err(t_R)\right)
]
其中 (t) 是一个树节点，(t_L) 和 (t_R) 是由分割测试 (s) 产生的子节点，(n_t)、(n_{tL}) 和 (n_{tR}) 分别是这些节点上的观测值集合的基数，(Err(\cdot)) 是估计节点误差的函数：
[
Err(t) = \frac{1}{n_t} \sum_{ \in D_t} (y_i - g(D_t))^2
]
在标准回归树中，(g(\cdot)) 是目标变量 (Y) 的平均值，对应于假设树的每个叶子上有一个常量模型。
2. 叶子节点使用的模型类型 ：最常见的是线性回归，但也有系统考虑核模型、局部线性模型和部分线性模型。这些替代方案提供了更平滑的函数近似，但增加了计算成本并降低了模型的可解释性。

7.4 不同的实现策略

先假设常量再拟合复杂模型 ：一些作者采用先假设叶子节点为常量值来生长树，然后在获得的每个叶子上拟合复杂模型的方法。这种方法只需要拟合与最终树中叶子数量相同的模型，但缺点是树节点的分割是假设叶子有平均值而选择的，可能导致对最终在每个叶子上拟合的模型而言不是最优的分割。
保持分割选择与模型一致性 ：一些作者试图通过提出评估不同分割的高效算法来保持分割选择步骤与叶子节点使用的模型的一致性。例如，有的通过逐步方式在树生长过程中获得线性模型；有的将原始回归问题转换为分类问题，通过查看局部拟合的线性模型残差符号的分布来选择最佳分割；还有的提出更高效的算法来评估所有候选分割；最后，有的提出增量算法来获得模型树，通过限制每个节点考虑的分割数量来应对任务的复杂性。

7.5 剪枝与预测

模型树的剪枝与标准回归树相比没有额外的挑战，因此使用类似方法来避免过拟合。使用模型树对新测试用例进行预测时，每个案例从根节点“向下”遍历树，根据节点中的逻辑测试沿着分支前进，直到到达叶子节点，然后使用该叶子节点中的模型进行预测。

7.6 模型树构建流程

graph LR
    A[开始] --> B[选择分割标准]
    B --> C[选择叶子模型类型]
    C --> D{是否先假设常量}
    D -- 是 --> E[以常量生长树]
    D -- 否 --> F[直接考虑复杂模型分割]
    E --> G[拟合复杂模型到叶子]
    F --> G
    G --> H[进行剪枝]
    H --> I[用于预测新案例]
    I --> J[结束]

7.7 模型树相关指标说明

指标	含义
(\Delta(s, t))	分割 (s) 在节点 (t) 产生的误差减少
(Err(t))	节点 (t) 的误差估计
(n_t)	节点 (t) 上观测值集合的基数
(n_{tL})	节点 (t) 的左子节点上观测值集合的基数
(n_{tR})	节点 (t) 的右子节点上观测值集合的基数
(g(D_t))	节点 (t) 上案例的函数，在标准回归树中为目标变量平均值

综上所述，混合模型、模型评估和模型树在机器学习中都有着重要的应用和独特的优势。混合模型适用于处理复杂的数据分布和聚类问题；模型评估帮助我们选择最适合特定应用的模型；而模型树则在回归问题中提供了更精确的函数近似。了解这些方法的原理、应用场景和实现细节，有助于我们在实际的机器学习任务中做出更明智的选择。

8. 不同模型方法的对比

8.1 混合模型与模型树的对比

对比维度	混合模型	模型树
模型本质	概率模型，由分量概率分布加权组合	基于树的回归模型，叶子含功能模型
适用场景	密度估计、聚类、无监督学习、分类	多个回归问题
复杂度	计算相对复杂，尤其在处理高维数据和重尾分布时	叶子模型复杂会增加计算复杂度，降低可解释性
可解释性	混合权重可解释簇相对大小，但整体较抽象	线性模型叶子相对直观，复杂模型会降低可解释性
数据要求	需考虑分量分布类型、数量、参数等	对训练样本的目标和预测变量有要求

8.2 模型评估在不同模型中的作用

混合模型 ：通过评估指标如预测有效性、计算问题和可理解性等，选择合适的分量分布、数量和参数，避免过拟合。
模型树 ：评估有助于确定最佳的分割标准和叶子模型类型，提高回归预测的准确性。

9. 实际应用案例分析

9.1 混合模型在生物数据聚类中的应用

在研究不同物种海豹头骨长度数据时，使用双分量混合模型。一个分量相对比例为 0.3，另一个为 0.7，反映了两种海豹物种的相对频率。通过 EM 算法估计模型参数，实现对不同物种海豹的聚类。

步骤：

选择高斯分布作为分量分布类型。
确定分量数量为 2。
初始化参数值，使用 EM 算法迭代计算混合权重和参数值，直到收敛。
根据混合权重将数据点分配到不同的簇中。

9.2 模型树在房价预测中的应用

在预测房价时，使用模型树。训练样本包含房屋面积、卧室数量等预测变量和房价目标变量。

步骤：

选择合适的分割标准，如基于误差减少的标准。
选择线性回归作为叶子模型类型。
以常量生长树，然后在叶子节点拟合线性回归模型。
对模型进行剪枝，避免过拟合。
使用训练好的模型对新房屋数据进行房价预测。

10. 未来发展趋势

10.1 混合模型

结合深度学习，处理更复杂的数据分布和特征。
开发更高效的估计算法，提高计算效率。
应用于更多领域，如医疗、金融等。

10.2 模型树

探索更复杂的叶子模型，提高回归精度。
与其他模型结合，如随机森林，增强模型性能。
优化分割标准和剪枝策略，减少过拟合。

10.3 模型评估

开发更全面的评估指标，考虑更多实际应用因素。
自动化评估过程，提高评估效率。
结合可视化技术，更直观地展示评估结果。

11. 总结

本文详细介绍了机器学习中的混合模型、模型评估和模型树方法。混合模型通过分量分布的加权组合表示数据子群体，适用于聚类和密度估计；模型评估是确保模型有效性和适用性的重要过程；模型树在回归问题中通过叶子节点的功能模型提供更精确的近似。不同方法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体问题和数据特点选择合适的模型和评估方法。未来，这些方法有望在更多领域得到应用和发展，为机器学习的进步做出贡献。

11.1 关键要点回顾

方法	关键要点
混合模型	分量分布类型、数量、参数和混合权重的选择；EM 算法估计；处理大规模数据和重尾分布
模型评估	预测有效性、计算问题和可理解性指标；避免重代入估计；交叉验证等评估技术
模型树	分割标准和叶子模型类型的选择；剪枝和预测方法；不同实现策略的优缺点

11.2 决策流程图

graph LR
    A[问题类型] --> B{聚类或密度估计?}
    B -- 是 --> C[考虑混合模型]
    C --> D[选择分量分布和参数]
    D --> E[使用 EM 算法估计]
    E --> F[模型评估]
    B -- 否 --> G{回归问题?}
    G -- 是 --> H[考虑模型树]
    H --> I[选择分割标准和叶子模型]
    I --> J[构建和剪枝模型]
    J --> F
    G -- 否 --> K[其他模型]
    K --> F
    F --> L[选择最佳模型]