15、按需辅助最优控制在康复中的应用

按需辅助最优控制在康复中的应用

1. 控制持续时间的计算

在控制算法中，存在一个可选的线搜索阶段，该阶段会重新模拟状态 (x(t)) 和轨迹成本，直至找到应用 (u^*_2(\tau_m)) 进行辅助控制（AC）的合适持续时间。不过，只有当模式插入梯度所提供的近似值在所选的默认控制间隔内不准确时，才需要进行此操作。

1.1 相关理论基础

定理提供了一种计算开环最优辅助控制动作 (u^ _2 (t)) 时间表的方法。在任意时间 (\tau_m) 附近进行无穷小实现时，(u^ _2 (\tau_m)) 是 (u(\tau_m)) 中的针状变化，它能在该时刻将模式插入梯度 (\frac{d J_1}{d\lambda^+}) 优化至 (\alpha_d)。模式插入梯度的这个值反映了在无穷小持续时间内，成本（7.3）对应用 (u^*_2 (\tau_m)) 的可实现灵敏度。

由于伴随和模式插入梯度在 (\lambda^+ \to 0) 时具有连续性，在 (\lambda^+ \to 0) 附近存在一个开放的非零邻域 (V)，在该邻域内模式插入梯度能一阶建模这种灵敏度。因此，模式插入梯度可用于建模在有限持续时间 (\lambda^+ \in V) 内应用 (u^* 2 (\tau_m)) 所实现的成本变化，公式如下：
(\Delta J_1 \approx \frac{d J_1}{d\lambda^+}\big| {\lambda^+ \to 0} \lambda^+) (7.13)

因为 (u^ _2 (\tau_m)) 调节 (\frac{d J_1}{d\lambda^+}