多信道广播调度序列设计

多信道自组织网络中广播的调度序列设计

摘要

超可靠低时延通信（URLLC）对于5G无线网络至关重要，并且最近受到了广泛关注。受URLLC严格时延要求的驱动，我们的目标是设计能够保证在有界时延内完成分组传输的媒体接入控制（MAC）方案。我们考虑的模型是一个多信道单跳自组织网络，其中每个节点都有需要广播给其他节点的数据包。这种广播场景十分常见，并已在多种场景中得到广泛研究，例如车载自组织网络（VANETs）中的安全消息广播。

大多数现有的MAC方案采用退避算法来处理由信道冲突引起的传输失败，因此无法对传输延迟提供硬性保证。此外，这些方案依赖于节点间的时间同步和协调，这将导致控制消息交换的大量开销。

本文重点研究设计MAC方案，以在无需时间同步和节点间协作的情况下，为广播延迟提供硬性保证。我们采用序列方案，其中每个节点被预分配一个周期序列，用于调度每个时隙的发送和接收。这些序列被称为调度序列。由于每个节点独立开始其传输调度，因此它们所使用的调度序列之间存在相对时间偏移。以往用于广播的序列方案仅在单信道环境中进行。我们的目标是在多信道系统中设计调度序列，使得无论时间偏移如何，每个节点均能在公共周期内至少成功向其每个邻居节点发送一个数据包。序列周期应尽可能短。本文分析了序列周期的下界，并提出一种序列构造方法，使周期达到与下界相同的阶。同时，我们也考虑随机方案，即每个节点在每个时隙以预定义概率在某一信道上发送或接收。

一、引言

A. 整体场景

超可靠低时延通信（URLLC）[1],[2]是第五代（5G）及以后网络中的三大主要应用场景之一，其实现比另外两个场景eMBB和mMTC更具挑战性，原因在于其在极高可靠性与超低时延方面存在严格的两项服务质量（QoS）要求[3],[4]。时延要求意味着数据包具有硬截止时间，超过截止时间后数据包将失效[5],[6]。受URLLC硬性时延要求的驱动，本文旨在研究能够保证分组传输在有界时延内的媒体接入控制（MAC）方案。我们考虑的业务模型是一个多信道单跳自组织网络，其中每个节点都有一系列需要广播给其他节点的数据包。这种广播场景十分常见。例如，在传感器网络中，每个传感器节点需要收集自身及其他邻近节点观测到的温度和湿度等数据，以供进一步处理[7],[8]。另一个例子来自车载自组织网络（VANETs），其中每辆车周期性地向其邻近车辆广播安全消息（如速度和位置信息），以避免车辆之间的碰撞[9],[10]。

文献中提出了大量针对单信道环境的调度算法[11]–[13]。本文主要关注多信道情况。具体而言，我们假设广播数据包在多个时隙化、时分双工（TDD）、等带宽冲突信道上传输。时分双工（TDD）的假设意味着每个节点在任意时隙内只能在一个信道上接收或发送一个数据包，而不能同时进行。与单信道系统相比，使用多信道具有两个主要影响。一方面，它使得多个节点对之间可以并发成功传输，从而可能加快全对全广播的完成；另一方面，对于任意节点对，发送方和接收方在数据传输前必须同步到同一信道。这一同步过程，即rendezvous[14],[15]，可能导致更长的时延，尤其是在它们的调度不受集中控制的情况下。因此，与使用单信道相比，使用更多信道是否有利于降低时延是一个非平凡的问题。

在没有中心控制器的多信道自组织网络中进行广播时，大多数现有的MAC方案依赖于节点间的协调，这通常需要在专用控制信道上进行控制消息交换[16]–[18]。例如，文献[16]中提出的MCB采用分阶段方法，即每个节点周期性地在控制信道和六个服务信道之一之间切换。在广播数据之前，每个节点应选择一个服务信道用于数据传输，并通过控制信道向其他节点通告该信息。然而，当流量较大时，该控制信道会成为瓶颈，且频繁进行控制消息交换带来的开销会很高，尤其是在数据包为短数据包的情况下。

此外，大多数现有的MAC方案采用退避算法来处理由信道冲突引起的传输失败[19],[20]。这些概率性方案无法对传输延迟提供硬性保证。

本文旨在设计无需集中式控制器和节点间协商的多信道MAC方案，以对广播延迟提供硬性保证。对于此类系统而言，在节点之间实现精确的时间同步具有挑战性。因此，理想的做法是设计异步MAC方案。在没有时间同步的情况下，每个节点独立启动其传输机制。因此，各节点的起始点与全系统参考点 t= 0之间的时间差可能各不相同。我们将此时间差称为节点的时间偏移。时间偏移的值未知，且在整个通信会话期间保持不变。

据我们所知，这是首个专注于在无同步和协调的多信道单跳自组织网络中实现全对全广播的研究。为了对广播延迟提供硬性保证，确定性方案比概率性方案更受青睐。因此，我们主要考虑确定性方案。我们将确定性方案视为序列方案，其中每个节点被分配一个以调度序列[21]–[23]形式表示的发送和接收调度。在每个时隙，每个节点读取其当前序列值，并根据该值执行相应操作（在特定信道上发送或接收）。一个设计良好的调度序列集可以保证在所有可能的时间偏移下，于公共序列周期内完成成功广播。我们还使用随机方案作为参考基线。在随机方案中，每个节点在每个时隙以固定概率在某个信道上发送或接收。在序列方案和随机方案中，每个节点均独立地发送或接收，不与其他节点进行协调。

B. 性能指标

本文的主要目标是设计MAC方案，为异步多信道网络中的广播延迟提供硬性保证。广播延迟的度量指标为帧长度和广播完成时间，其定义如下。

1) 帧长度 ：在我们研究的系统中，每个节点都需要向所有其他节点发送一个数据包序列。为确保可靠的通信，每个节点可能需要多次发送同一数据包。我们将节点在序列方案和随机方案中用于发送同一数据包的连续时隙序列定义为帧，如图1所示。

在序列方案中，每个数据包根据周期性调度序列进行发送。我们的序列设计目标是确保每个节点在每帧内向其其他每个节点至少实现一次成功广播。因此，对于基于序列的方案，帧长度等于序列周期。对于随机方案，帧长度表示一个节点尝试发送给定数据包的次数，使得在该帧内实现成功广播的概率接近于1。（此处“接近”的定义根据URLLC标准所驱动的服务质量要求确定[24]，因为随机方案无法达到100%的确信度。）帧长度对所有可能的时间偏移下的广播延迟进行了上界约束，因此从启发式角度应将其最小化。

2) 广播完成时间 ：完成时间也是时延的一个常用度量指标，在单信道模型[12]中通常被称为组延迟。它被定义为从 t= 0开始，直到每个节点都成功向其他每个节点至少发送了一个数据包为止的时间持续长度。完成时间随时间偏移而变化。不同方案下的广播完成时间比较主要通过数值研究进行。

C. 文献中的相关方案

我们在第I-A节中提到，现有的用于多信道系统广播的MAC方案大多依赖于节点间的协调，这会导致高开销，以及使用无法对传输延迟提供硬性保证的退避算法。因此，我们采用序列方案，该方案不需要节点间的协商，并且只要序列设计得当，就能在序列周期内确保成功广播。

序列方案已在多种场景中得到广泛研究。对于时间同步系统，时分多址(TDMA)是最常见的方法，它为每个节点在帧内分配唯一的传输时隙。在TDMA之后，提出了大量拓扑透明调度（TTS）序列[25],[26]这些方法高效地利用了稀疏性信息，在网络吞吐量和传输延迟方面优于传统的时分多址(TDMA)。与同步序列相比，异步序列更具挑战性，因此在文献中受到了更多关注。典型例子包括用于单信道多址接入的协议序列、用于多信道认知无线电网络中会合过程的[21],[27],信道跳频序列[28],[29]，以及用于无线传感器网络中邻居发现的唤醒序列[30],[31]。

在文献中为不同场景提出的各种序列方案中，与我们的工作最相关的序列是为单信道广播设计的序列[12]和为多信道单播设计的序列[23]。接下来，我们将介绍这些序列及其试图解决的问题，并阐述它们的问题与我们的问题之间的差异。

1) 单信道广播 ：针对车载自组织网络(VANETs)的异步广播调度序列设计首次在[12]中被研究。需要注意的是，[12]中提出的调度序列仅适用于单信道模型，并且可以用具有用户无阻塞性质（UI）的二进制协议序列来表示，该性质已在文献中得到广泛研究（详见[21],[27]及其参考文献）。二进制协议序列中的符号值“1”或“0”分别对应在单信道上的发送或接收。UI性质意味着对于所有可能的时间偏移，每个协议序列至少有一个“1”不会与其他序列的“1”发生碰撞。具有UI性质的协议序列可以从避冲突码构造而来[32]。

本文将协议序列的分析扩展到更一般的调度序列，这些序列是建模多信道系统所必需的。使用多信道可以提高吞吐量，但由于会合过程的存在，序列设计也变得更加困难。在后续章节中，我们将介绍单信道系统的已知最短序列周期，并将其与本文提出的多信道系统序列构造方法所得出的序列周期进行比较。

2) 多信道下的单播 ：在异步多信道系统中，针对另一种常见的信息交换模式——单播的序列设计在[23]中进行了研究。单播与广播的区别在于所交换数据包的内容。在全对全广播中，从一个节点发送到其他节点的数据包是相同的；而相比之下，在全对全单播中，从一个节点发送到各个其他节点的数据包是各自独立的。也就是说，在相同接收范围内的 K个节点中，对于广播模型，K个节点在一个帧内需要成功传输的数据包总数为K，而对于单播模型，该值应为 K(K−1)。

在随机方案下，单播的最优发送和接收概率在[23]中进行了分析。[23]中的仿真结果表明，在序列方案和优化的随机方案下，随着可用信道数量的增加，单播完成时间减少。此外，单播完成时间在序列方案下随机方案下的时间比优化的随机方案更短。在后续章节中，我们将比较单播序列和我们提出的广播序列下的完成时间性能，以展示多信道使用带来的影响。

D. 主要贡献

据我们所知，这是首个研究在无节点间协调的情况下，利用多信道实现异步全网广播的MAC方案的工作。我们的主要贡献如下。

1) 针对序列方案，获得以下结果：给定 K个节点和 M个可用信道，我们推导出最短公共序列周期的下界，并提出一种基于中国剩余定理（CRT）对应的序列设计方法。在一些通用的技术假设下，我们所提出构造方法的序列周期与该下界具有相同的阶，并且相较于单信道情况下的已知最短周期，在阶上可实现 M量级的渐近减少。
2) 我们分析了随机方案，以作为与序列方案比较的基准。我们推导出两种随机方案的最优发送和接收概率。
3) 通过理论分析和数值研究，比较了不同方案下的帧长度和广播完成时间。

本文的其余部分组织如下。序列方案的初步步骤——序列分配，在第二节中进行了讨论。在第三节描述系统模型后，我们在第四节介绍了序列设计的初步信息，为后续讨论做准备。接着在第五节分析了序列周期的下界，并在第六节提出了一种序列构造方法。在第七节中，我们展示了在均匀分组下，所提出的构造方法得到的序列周期结果。在第八节中，我们分析了两种随机方案。第九节展示了不同方案下的帧长度和广播完成时间的比较结果。最后，我们在第十节对本文进行总结。

II. 序列分配

在序列方案中，我们预先设计序列并将其预分配给节点，以调度发送和接收。在本节中，我们讨论如何进行序列分配。在为各种场景提出的序列方案中，例如认知无线电网络中用于同步的跳频序列[28],[29],以及无线传感器网络中用于邻居发现的唤醒序列[30],[31],，最常见的方法是在节点执行任务之前为每个节点预分配一个唯一序列。

需要注意的是，该方法要求事先知道节点总数。对于节点数量动态变化且极为庞大的系统，文献中也提出了高效复用小规模序列集的解决方案[12],[33],[34]。例如，在[33],中，作者提出了一种基于蜂窝网络的复用方案分布式节点的地理位置。在该方案中，地理区域被六边形量化单元覆盖。调度序列被预分配给这些单元，条件是相互在听觉范围内的任意两个单元不能共享相同的序列。所有节点通过全球导航卫星系统（GNSS）获取其位置信息，能够识别自身所属的单元，并根据单元恒等式进一步确定相应的调度序列。参考文献[12]提出了一种针对车载自组织网络(VANETs)的序列分配方法，其中序列分配可由高速公路入口或收费站附近的路侧节点执行。当车辆进入高速公路或通过收费站时，存储有一组调度序列池的路侧节点将为该车辆分配一个唯一的序列。当车辆数量增加时，路侧节点可以切换到更大的调度序列池，以确保高速公路上每个路段中的每辆车都能被分配到唯一的调度序列。

本文主要关注序列设计问题，并采用最常用的方法进行序列分配。即，我们假设节点数量预先已知，然后为节点设计独立序列并预分配这些序列给各个节点。一旦完成序列分配，每个节点便可根据其被分配的序列分布式地工作。在将我们的序列方案应用于蜂窝网络和车载自组织网络(VANETs)时，也可以采用文献[33]和[12]中提出的序列分配方法。

展示了序列生成过程。序列构造是本文的研究重点。在子图(b)中，将从(a)得到的序列分配给各个节点，使得每个节点被分配一个唯一的序列。在子图(c)中，每个节点根据其被分配的序列向其他节点广播数据包)

III. 问题建模

我们考虑一个由 K个节点组成的单跳自组织网络，所有节点均处于公共可听范围内。假设 K的值已知。在序列方案下，每个节点应在序列周期内至少向其他每个节点广播一次广播数据包。为便于本文中的符号简化，给定一个正整数 n，我们用[n]表示集合{1, 2,…, n}，用 Z n表示循环群{0, 1,…, n − 1}，其模 n的加法（分别地，减法）记为 ⊕ n （分别地， n ）。我们将第 i个节点记为 N i ，其中i ∈[K]。共有 M个可用频率信道。由于带宽通常是稀缺资源，本文仅考虑 M ≤ K的情况。

序列分配方法的说明。子图(a)展示了序列生成过程。这些序列存储在路侧节点中，如子图(b)所示。当一辆车辆进入高速公路时，路侧节点将为其分配一个唯一的序列以调度其广播，如子图(c)所示)

信道分配是序列设计的第一步。我们考虑一种基于组的信道分配方法，称为分配T。 K个节点被虚拟划分为 M个组，记为 G1, G2, . . . , GM。该分组划分满足∪M m=1Gm={N1, N2,…, NK}，且 Gm ∩ Gn= ∅，其中m, n ∈[M]和 m 6= n。组 Gm的组大小记为 |Gm|。我们指出，各组的大小可能不同，且某一组可能是空集。如果 Gm为空，则信道 m将不会被使用。在 M个组中，我们假设 G1, G2, . . . , GW为非空组， 1 ≤ W ≤ M，并将最小（相应地，最大）非零组大小记为 k（相应地， ），即 k= min{\|G1\|, \|G2\|,..., \|GW\|}, =max{|G1|, |G2|,…, |GW|}.。 W, k, 的值取决于组的划分方式。特别地，我们定义一种均匀分组，即 W个非空组的划分尽可能均匀，也就是 k= bK/Wc, =dK/We。在给定的分组划分下，对于 m= 1, 2, . . . , W，组 Gm中的节点仅允许在信道 m上传输，但能够从任意 W个信道接收数据包。

假设所有时隙的时长均相等。在不失一般性的前提下，我们将时隙时长归一化为1。我们用一个有限长度为 L的序列来表示周期为 L的周期序列。分配给节点 Ni的周期为 L的调度序列表示为
si:=[si(0) si(1)… si(L− 1)],
对于 i= 1，2，…， K。对于节点 Ni ∈ Gm，其中 i ∈[K]和 m ∈[W]，我们将节点在信道 m 上发送的动作用符号 Tm表示，在信道 r 上接收的动作用符号 Rr 表示，对于任意 r ∈[W]，则si 中的元素选自集合{Tm}∪{R1 , R 2 ,…, R W}.

对于 i ∈[K]，节点 N i具有一个时间偏移，记为 τ i，其定义为全系统参考点 t= 0与节点 N i的起始点之间的时间差。为了便于讨论，我们假设所有节点的调度开始时间不晚于 t= 0 ，并且各节点的时隙边界是对齐的。因此，各节点的时间偏移为非负整数。考虑到这些序列具有公共周期 L，我们假设 τ i ∈ Z L 。令 τ=(τ1 , τ 2 ,…, τ K) ∈ ZK L表示这 K个节点的时间偏移的一个实例。对于满足 τ i 的Ni ∈ Gm ，我们记
si的 τi循环移位
sτi i:=[si(τi) si(1 ⊕L τi)… si((L− 1)⊕L τi)].
如果 si(t ⊕L τi)= Tm，节点 Ni在时隙 t于信道m发送一个数据包。如果 si(t ⊕L τi)= Rr， r ∈[W]，节点 Ni在时隙 t监听信道 r ，并检查是否有数据包可以被接收。如果多个节点在同一时间于同一信道发送数据，则发生碰撞，该时隙内该信道上传输的所有数据包都无法成功解码。对于 m ∈[W]，如果在信道 m上只有一个节点发送数据，并且在同一时隙有多个节点在信道 m上接收，则该发送的数据包被视为被所有正在监听信道 m的节点成功接收。

序列设计应确保在任意时间偏移下，任何两个节点之间在一个周期内都能成功传输。具体而言，调度序列的设计需满足以下要求。

1)（组内通信）对于任意 m ∈[W]，如果 Gm的大小为 |Gm| ≥ 2，则对于任意 Ni, Nj ∈ Gm且满足 i 6= j以及对于任意 τ ∈ ZKL，存在一个时间索引 t ∈ ZL，使得
$$
\begin{cases}
si(t \oplus_L \tau_i)= Tm; \
sj(t \oplus_L \tau_j)= Rm; \
sx(t \oplus_L \tau_x) \neq Tm, \text{ for all } Nx \in Gm\backslash{Ni, Nj}.
\end{cases}
$$
(1)

2)（组间通信）对于任意两个不同的组索引 m,n ∈[W]，以及任意的 Ni ∈ Gm和 Nj ∈ Gn，和任意的 τ ∈ ZKL，存在一个时间索引 t ∈ ZL，使得
$$
\begin{cases}
si(t \oplus_L \tau_i)= Tm; \
sj(t \oplus_L \tau_j)= Rm; \
sx(t \oplus_L \tau_x) \neq Tm, \text{ for all } Nx \in Gm\backslash{Ni}.
\end{cases}
$$
(2)

给定 K个节点和 M个信道，一个长度为 L的序列集{si： i ∈[K]}被称为一个(M, K, L)‐调度序列集，如果存在一个正整数 W ≤ M以及将{N1, N2,…, NK}划分为 W个非空组G1, G2,…, GW的方式，使得

(i) 对于每个 i ∈[K]，如果 Ni ∈ Gm, m ∈[W]，序列 si的元素取自{Tm}∪{R1, R2,…, RW}；

(ii) 条件(1)和(2)均满足。

示例1 ：对于在分配T下的3个节点（K= 3）和2个信道（M= 2），我们令 W= 2和 G1={N1, N2}, G2 ={N3}。然后，s1 ,s2中的元素取自{T1 , R1 , R2} ，而s 3中的元素取自{T2 , R1}。以下是一个长度为 L= 12的 (2, 3,12)‐调度序列集：
s 1 =[T1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 R 1 R 1 R 1 R 2 R 2 R 2];
s 2 =[T1 R 1 T 1 R 2 T 1 R 1 T 1 R 2 T 1 R 1 T 1 R 2];
s 3 =[T2 R 1 R 1 T 2 R 1 R 1 T 2 R 1 R 1 T 2 R 1 R 1].

我们可以验证，对于所有 τ ∈ Z3 12 ，(1)和(2)中的条件均满足。例如，若 τ=(3, 7,10)，则移位后的序列s 3 1 ,s 7 2 ,s 10 3 如下所示：
s 3 1 =[T1 T 1 T 1 R 1 R 1 R 1 R 2 R 2 R 2 T 1 T 1 T 1];
s72=[R2 T1 R1 T1 R2 T1 R1 T1 R2 T1 R1 T1];
s10 3=[R1 R1 T2 R1 R1 T2 R1 R1 T2 R1 R1 T2].

我们以 N1为例。它在 t= 2成功发送到 N2，因为 s31(2)= T1且 s72(2)= R1；并在 t= 0成功发送到 N3 ，因为 s31(0)=T1, s72(0)≠ T1且 s10 3(0)= R1。

在后面的章节中，我们将分析 L的下界，并针对给定的 K和 M提出(M, K, L)‐调度序列集的构造方法。为了便于阅读，我们在表I中列出了本文所使用的符号。

表I 符号与缩写表

符号	定义
K	节点总数
M	可用信道总数
Gm	第 m组， m ∈[M]
W	非空组的数量， 1 ≤ W ≤ M
k	最小的非空组大小
`	最大的非空组大小
L	周期序列集的周期
Ni	第 i个节点， i ∈[K]
τi	节点 Ni的时间偏移， τi ∈ ZL
τ	τi和 τ ∈ ZLK的组合
si	分配给节点 N的调度序列 i
sτi i	si按 τi的循环移位
si(t)	si的第 t个元素， t ∈ ZL
si(t ⊕L τi)	sτi i的第 t个元素， t ∈ ZL
Tm	在信道 m, m ∈[M] 上发送的动作
Rm	在信道 m, m ∈[M] 上接收的动作
p, q	CRT‐UI 构造的参数
Ai	通过CRT映射对应于si的数组
Aτi i	通过 CRT 映射对应的数组 s τ i i
p, q	随机方案下的帧长度

IV. 预备知识

在本节中，我们介绍一些预备信息，并给出将在后续章节的序列设计中使用的结果。

A. 汉明互相关

我们介绍了两个二进制序列的汉明互相关性及其基本性质。

定义 1 ：对于两个具有公共周期 L 和相对时间偏移 τ的二进制序列s1:=[s1(0) s1(1)… s1(L−1)]和s2:=[s2(0) s2(1)… s2( L−1)]，它们的汉明互相关函数定义为
$$
H_{1,2}(\tau)=\sum_{t=0}^{L-1} s_1(t)s_2(t \oplus_L \tau).
$$
当s 1 = s2， H 1，2(τ)称为s 1的汉明自相关。

定义 2 : 周期性二进制序列的汉明重量定义为一个周期内 “1”的个数。

引理3 下面阐述了两个二进制序列的汉明互相关与汉明重量之间的关系。

引理3 ：[35]对于两个具有公共周期 L且汉明权重分别为 w 1 、 w 2 的二进制序列s 1 , s 2 ，它们的汉明互相关和为
$$
\sum_{\tau=0}^{L-1} H_{1,2}(\tau) = w_1w_2.
$$

B. 中国剩余定理对应关系

我们提醒读者注意中国剩余定理（CRT）对应关系，因为在第六节中提出的(M, K, L)‐调度序列集的构造方法基于此。

定义4 ：对于互素的 p和 q，中国剩余定理对应关系是 Zpq与 Zp ×Zq之间的一个双射映射，定义为
$$
\Phi_{p,q}(t):=(t \mod p, t \mod q). \quad (3)
$$
根据中国剩余定理对应关系，可以从一个 p × q数组获得一个长度为L= pq的序列，其中数组中的第(t mod p, t mod q)个元素映射到序列中的第t个元素，适用于 t ∈ ZL。将该序列循环移位 τ（其中 τ ∈ ZL），等价于对其数组表示在行方向和列方向分别进行 τ mod p和τ mod q的移位。

C. 用户无阻塞序列

用户不可抑制（UI）序列可直接用于单通道模型中的广播。它们还将用于我们提出的(M, K, L)‐调度序列集的构造方法中。

定义5 : [36]考虑一个 K二进制序列集，其中每个序列的长度为 L。对第 i个序列进行时间偏移 τi ∈ ZL的循环移位，其中 i ∈[K]，并将这些移位后的序列堆叠成一个 K × L 矩阵 M。如果对于所有可能的 τ1, τ2,…, τK ∈ZL，该矩阵M始终包含一个K × K置换矩阵，则该序列集是一个(K, L)‐UI 序列集。

根据定义5，一个(K, L)‐UI序列集等价于一个(1, K, L)‐调度序列集。文献[12],[36],[37]中存在多种UI序列集的构造方法。众所周知，对于一组长度为 L的 K个二进制序列，若每个序列的汉明重量不小于 K，且其中任意两个序列在任意时间偏移下的汉明互相关不超过1，即
$$
H_{i, j}(\tau_i \ominus_L \tau_j) \leq 1, \quad \text{for } i, j \in[K], i \neq j, \tau_i, \tau_j \in Z_L, \quad (4)
$$
那么该序列集是一个(K, L)‐UI序列集。

对于任意给定的 K，我们可以通过以下基于中国剩余定理对应关系(3)的构造方法，得到一个满足(4)的(K, L)‐UI序列集。

定义 6：CRT‐UI 构造[36] ：给定 K，设 w ≥K, p 为素数，且 p ≥ w, q 为与 p和 q ≥ 2w − 1互素的数。对于生成器 g ∈[K]，构造一组K个序列{sg =[sg( 0) … s g( L − 1)]： g ∈[K]}，其公共汉明重量为 w，公共周期为 L= pq，构造方法如下：对于 t ∈ Z L ，
$$
s_g(t)=
\begin{cases}
1 & \text{if } \Phi_{p,q}(t)=(ug \mod p, u \mod q), \text{ for } u \in Z_w, \
0 & \text{otherwise}.
\end{cases}
\quad (5)
$$
对于任意素数 K，通过CRT‐UI构造得到的(1, K, L)‐调度序列集((K, L)‐UI 序列集)的最短周期 L为
$$
L= K(2K − 1). \quad (6)
$$
在(6)中，周期 L是通过令 w= K、 p= K和q= 2K−1得到的。对于可能不是素数的一般情况 K，我们可以通过伯特兰假设获得关于该最短 L的以下方程，
$$
L \leq 2K(2K − 1). \quad (7)
$$
通过CRT‐UI构造得到的序列具有以下汉明自相关特性：

引理7 : [38]对于 g ∈[p − 1]、 d ∈ Zw和 τ ∈ ZL，
$$
H_{g,g}(\tau)=
\begin{cases}
w − d & \text{if } \Phi_{p,q}(\tau)= \pm(g, 1)d, \
0 & \text{otherwise}.
\end{cases}
$$

示例2 ：给定 K= 3，我们通过CRT‐UI构造方法，使用 w= 3, p= 3, q= 5作为生成器g= 1,2, 3，长度为 L= pq= 15，设计三个序列如下，
s1=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
s2=[1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0];
s3=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0].

由于CRT‐UI构造基于CRT对应关系，这些序列可以分别从以下三个 3 × 5数组中获得：
s1:
| 1|0|0|0|0|
| —|—|—|—|—|
| 0|1|0|0|0|
| 0|0|1|0|0|

s2:
| 1|0|0|0|0|
| —|—|—|—|—|
| 0|0|1|0|0|
| 0|1|0|0|0|

s3:
| 1|1|1|0|0|
| —|—|—|—|—|
| 0|0|0|0|0|
| 0|0|0|0|0|

我们以序列s2为例。在其数组表示中，“1”位于位置{(2u mod p, u mod q)：u= 0, 1, 2}={(0, 0),(2, 1),(1, 2)}。由于Φp,q(0)=(0, 0)，Φp,q(11)=(2,1)，Φp,q(7)=(1, 2)，因此当 t= 0,11, 7时，“1”出现在s2中。

我们可以验证，对于任意的 τ1, τ2, τ3 ∈ Z15，s τ 1 1 、s τ 2 2 和s τ 3 3 中任意两个序列的汉明互相关为0 或1。因此，s1, s2 和s3 构成一个 (3,15)‐UI 序列集。

我们也可以验证引理7。以s2和s7 2的汉明自相关为例。根据定义，我们有H2,2(7)= 1。另一方面，Φ3,5(7)= 2× (2, 1)， w−2=1。这与引理7一致。

D. 递归序列的一个结果

为了建立序列周期的下界 L，我们需要一个关于实值序列的技术引理，该序列递归地定义如下。

引理8 ：定义一个递归序列(br) ∞ r=1 为
$$
\begin{cases}
b_1 \geq C, \
b_r = b_{r-1} - \left\lceil \frac{b_{r-1}}{b_1 \mu L} \right\rceil, \quad \text{for } r \geq 2,
\end{cases}
$$
其中 C是正整数， µ是满足 µ ≥ 1的实数。如果 b C ≥ 1，则我们有
$$
L \geq \left\lceil \frac{8C^2 \mu}{9} \right\rceil.
$$
请参见附录A以获取引理8的证明。

V. 周期的下界 L

给定将{N1, N2,…, NK}划分为 W个非空组 G1, G2,…,GW，且最小组大小为 k, W ≤M，我们定义Ω(W, k, M, K)为最小长度 L，使得存在一个(M, K, L)‐调度序列集。

对于序列集{si： i ∈[K]}，我们用 αi表示节点 Ni的序列si中的发送符号数量，用 βr i表示在si中接收符号 Rr的数量，其中 i ∈[K]，r ∈[W]。显然
$$
L= \alpha_i+\sum_{r=1}^{W} \beta_r^i, \quad \text{for any } i \in[K]. \quad (9)
$$
由(9)可知，必然存在一个 i ∈[K]和一个 r ∈[W]，使得 βr i ≤ L/W.成立。接下来我们考虑组 Gr中的节点，并用Nr1表示在 Gr中具有最少发送符号 Tr’s数量的节点。如果该序列集是一个(M, K, L)‐调度序列集，则可以保证节点 Ni在一个周期 L内成功地从节点Nr1接收到一个无碰撞的数据包。这意味着sr1中的至少一个 Tr能够与si中的一个 Rr匹配，且不与其他节点在 Gr中的 Tr’s发生碰撞。考虑到 |Gr| ≥ k，并且节点 Ni也可能位于 Gr中，因此在 Gr中除了Ni和 Nr1之外，还应至少有(k − 2)个竞争者会在信道 r上进行发送。为了便于后续讨论，我们将这些调度序列简化为二进制序列，方法如下：对于序列 sr1，我们将发送符号 Tr’s替换为“1”，并将其他符号替换为“0”。这个新得到的二进制序列记为e1。对于序列si，我们将所有非Rr的符号替换为“1”，并将 Rr’s替换为“0”。这个新得到的序列记为e2。对于对应于(k−2)个潜在竞争者的(k−2)个序列，我们将Tr’s替换为 “1”，其他符号替换为“0”。这(k−2)个新得到的序列记为e3,、e4、⋯⋯、ek。e1中“1”的数量记为 a1，ej中“1”的数量记为 w j，其中 j ∈{2, 3,…, k}。我们有
$$
w_2= L− \beta_r^i \geq L− L/W, \quad w_3,…, w_k \geq a_1.
$$
接下来，我们通过使用阻塞算法[36], 来分析Ω(W, k, M, K)的下界，其中我们固定e1 并对e2, e3,…, ek进行循环移位，以尽可能多地使e1 中的“1”发生碰撞。

阻塞算法
一组周期为 L的 k个二进制序列e1 , e2,…, e k。
1. Set j= 2.
2. 为ej选择一个时间偏移 τ j ∈ Z L ，使得e τ j j中的 w j个“1”与e 1 中的 a j − 1 个“1”发生碰撞的次数最多，即e 1和ej在相对时间偏移 τ j下的汉明互相关 H 1, j( τ j)达到最大。
3. 将e 1 中冲突的“1”设置为“0”。令 a j 表示e 1 与ej冲突后剩余的“1”的数量， a j = a j − 1 −maxτ j ∈ Z L H 1, j( τ j)。
4. 如果 j< k，将 j 加一并返回步骤2。
5. 输出 a1 , a 2 ,…, a k 并停止。

根据阻塞算法， a1, a2,…, ak的值为非负。如果 ak= 0，即在不与eτjj中的“1”发生冲突的情况下，e1中的任何“1”都无法与eτ2 2中的“0”匹配，对于 j ∈{3, 4,…, k}成立，则相应地，在不与(k − 2)个潜在竞争者发生冲突的情况下，s r1中的任意 Tr也无法与sτi i中的 Rr匹配。因此，若序列集{si： i ∈[K]}是一个(M, K, L)‐调度序列集，则必须满足 ak ≥ 1。接下来我们将分析 ak ≥ 1的必要条件。

a1, a2,…, ak之间存在一种关系，该关系由以下引理总结：

引理9 ：根据阻塞算法，我们有
$$
a_j \leq a_{j-1} - \left\lceil \frac{a_{j-1}w_j}{L} \right\rceil, \quad \text{for } j \in{2, 3,…, k}. \quad (10)
$$
证明 ：根据阻塞算法，对于 j ∈{2, 3,…, k}, aj= aj−1−maxτj∈ZL H1,j(τj)。由引理3可知，所有 τj ∈ ZL的H1,j(τj)之和满足∑ L−1 τj=0 H1,j(τj)= aj−1wj.因此
$$
\max_{\tau_j\in Z_L} H_{1,j}(\tau_j) \geq \left\lceil \frac{a_{j-1}w_j}{L} \right\rceil.
$$
这完成了引理9的证明。

基于(10)，我们定义一个递归序列(bj) ∞ j=2，以使对 ak ≥ 1的分析更加易于处理。

定理 10 ：递归地定义一个序列(bj) ∞ j=2
$$
\begin{cases}
b_2= \lceil Wa_1 \rceil, \
b_j= b_{j-1} - \left\lceil \frac{b_{j-1}b_2W\varepsilon}{L} \right\rceil, \quad \text{for } j \geq 3,
\end{cases}
$$
其中 ε 是一个满足 b2Wε ≤ a1的实数。则对于 j ∈{2, 3,…, k}，有aj ≤ b j。

证明 ：我们将通过数学归纳法证明 a j ≤ b j对于j ∈{2, 3,…, k}成立。首先，我们考虑 a2的值。由于(10)以及w2 ≥ L− L/W这一事实，我们得到
$$
a_2 \leq a_1 - \left\lceil \frac{a_1(L− L/W)}{L} \right\rceil \leq a_1 - a_1(1 - \frac{1}{W})= \frac{a_1}{W} . \quad (11)
$$
然后我们得到 a2 ≤ b2。

接下来，我们假设 a j −1 ≤ b j −1 对于 j ∈{3, 4,…, k}。我们已知 w3,…, wk ≥ a1。然后根据(10)，我们得到对于 j ∈{3, 4,…, k}，
$$
a_j \leq a_{j-1} - \left\lceil \frac{a_{j-1} a_1}{L} \right\rceil. \quad (12)
$$
由于 a1 /L ∈(0,1)，给定 aj −1 ≤ b j −1 ，我们有
$$
a_{j-1} - \left\lceil \frac{a_{j-1} a_1}{L} \right\rceil \leq b_{j-1} - \left\lceil \frac{b_{j-1} a_1}{L} \right\rceil.
$$
自从 b 2 Wε ≤ a 1 以来，我们有
$$
a_{j-1} - \left\lceil \frac{a_{j-1} a_1}{L} \right\rceil \leq b_{j-1} - \left\lceil \frac{b_{j-1} b_2 W\varepsilon}{L} \right\rceil. \quad (13)
$$
通过结合(12)和(13)，我们得到 a j ≤ b j ，对于j ∈{3, 4,…, k}。这完成了证明。

定理11 : 对于一个(M, K, L)‐调度序列集，我们有
$$
L \geq \left\lceil \frac{8(k - 1)^2 W\varepsilon}{9} \right\rceil, \quad (14)
$$
其中 ε= 1 − 1/k。

证明 ：我们首先证明 ε 的值能够保证
$$
b_2W\varepsilon \leq a_1. \quad (15)
$$
给定 ak ≥ 1，可得maxτj∈ZL H1，j(τj) ≥ 1 对于 j ∈{3, 4,…, k}。然后我们有 a2 ≥ k − 1。另一方面，根据(11)我们有 a2 ≤ a1/W。因此，我们得到 a1 ≥W(k− 1)。由于 ε= 1 − 1/k，我们有
$$
\frac{W\varepsilon}{1 - \varepsilon}= W(k - 1) \leq a_1,
$$
经过简单变换后可重写为
$$
(Wa_1+ 1) W\varepsilon \leq a_1.
$$
由于 b2= da1/We< a1/W+ 1，则(15)成立。

根据此 ε，我们有 bk ≥ ak ≥ 1，以及 b2 ≥ a2 ≥k−1由定理10得出。然后将 C= k−1和 µ= Wε代入引理8可得(14)。

备注1 : 当每个序列中的发送符号数量是 W的倍数时，即对任意 i ∈[K]， αi是W的倍数，此时有b2= da1/We= a1/W。在这种情况下，取 ε= 1，(15)可以被满足。此时关于 L的下界可改进为
$$
L \geq \left\lceil \frac{8(k - 1)^2W}{9} \right\rceil.
$$
从定理11可以看出，当下界(14)中的 k较小时，该下界较为宽松。此处我们给出另一个下界作为补充。

定理12 ：对于一个(M, K, L)‐调度序列集，如果k ≥ 2，我们有
$$
L \geq 4W(k - 1). \quad (16)
$$
如果 k= 1，我们有 L ≥ 4(W −1)。

证明 ：对于 K个节点，所需的最短周期不少于 K′= Wk个节点的情况。我们将分析 L在 K′个节点下的下界。考虑从节点 Ni到节点 N j 的传输，其中 i,j ∈[K′], i ≠ j。假设Ni ∈ Gm, m ∈[W]。对于 k ≥ 2的情况，在 Gm中至少有(k−2)个节点会对节点 Ni造成碰撞。不失一般性，我们固定si并移动sj。记si中的发送符号 Tm’与s τ j j 中的接收符号 Rm’重叠的数量为 Hi→j( τ j)。根据引理3，所有 τ j ∈ ZL对应的 H i→j( τ j)之和满足
$$
\sum_{\tau_j=0}^{L-1} H_{i→j}(\tau_j) = \alpha_i \beta_m^j . \quad (17)
$$
如果 ∑ L − 1 τ j =0 H i→j( τ j)<(k−1)L，则必然存在至少一个τ j ∈ Z L 的值使得 H i→j( τ j)< k − 1成立。这意味着对于这样的τ j，s i 中与Rm 在s τ j j 中重叠的节点数量不超过(k−2)。然而，在 G m 中其余(k−2)个节点必然存在某种时间偏移组合，导致s i 中的(k − 2)个 T m 发生冲突。在这种情况下，节点 N i 将无法成功发送至节点 N j 。因此，为确保成功所有收发对之间在所有可能的 τ下的发送
$$
\alpha_i\beta_m^j \geq(k−1)L, \quad \text{for any } i, j \in[K′], j ≠ i, m \in[W]. \quad (18)
$$
将(9)对 i ∈[K′]求和可得
$$
K′L=\sum_{i=1}^{K′} \alpha_i+ \sum_{i=1}^{K′} \sum_{r=1}^{W} \beta_r^i. \quad (19)
$$
将(18)代入(19)，我们得到
$$
K′L \geq \sum_{i=1}^{K′} \alpha_i+ W(k − 1)L \sum_{i=1}^{K′} \frac{1}{\alpha_i} .
$$
由于调和平均值不超过算术平均值，我们得到
$$
K′L \geq \sum_{i=1}^{K′} \alpha_i+ \frac{W(k − 1)LK′^2}{\sum_{i=1}^{K′} \alpha_i} . \quad (20)
$$
然后根据(20)右边的最小值为 2K′√W(k −1)L这一事实，可得(16)。对于 k= 1的情况，我们考虑 K′= W个节点时 L的下界。在这种情况下，任何发送‐接收节点对都应满足
$$
\alpha_i\beta_m^j \geq(K′ − 1)L, \quad \text{for any } i, j \in[K′], j ≠ i, m \in[W]. \quad (21)
$$
然后通过相同的分析，我们有
$$
K′L \geq \sum_{i=1}^{K′} \alpha_i+(K′ − 1)L \sum_{i=1}^{K′} \frac{1}{\alpha_i} . \quad (22)
$$
根据(22)，我们有 L ≥ 4(K′ − 1)= 4(W − 1).这完成了定理 12的证明。

通过结合定理11和定理12，我们可以得出结论：对于一个(M, K, L)‐调度序列集，当k= 1时，
$$
\Omega(W, k, M, K) \geq 4(W − 1), \quad (23)
$$
以及当 k ≥ 2时，
$$
\Omega(W, k, M, K) \geq \max\left{\left\lceil \frac{8W(k − 1)^3}{9k} \right\rceil, 4W(k − 1)\right}. \quad (24)
$$
特别是对于 W= M,k= bK/Mc ≥ 2的偶数组划分情况，其下界为
$$
\Omega(W, k, M, K) \geq \max\left{\left\lceil \frac{8M(\lfloor K/M \rfloor − 1)^3}{9\lfloor K/M \rfloor} \right\rceil, 4M(\lfloor K/M \rfloor − 1)\right}. \quad (25)
$$

VI. (M, K, L)‐调度序列集的构造

在本节中，我们提出一种用于(M, K, L)‐调度序列集的基于CRT的构造。为符号简化起见，该构造称为Construction ∗。给定一个具有 W个非空组 G 1 , G 2 ,…, G W 以及最大组大小 的分组划分，我们首先设计一组 W 个序列，适用于每个 W个组恰好包含`个节点的情况，然后从中随机选取 K个序列，得到一个(M, K, L)‐调度序列集。

如第四节IV-B所述，如果数组的行数和列数互素，则可以通过中国剩余定理对应关系(3)将数组映射为序列。在构造 ∗中，为了为节点Ni设计调度序列si，我们首先构造一个包含 2W行的数组 Ai，每行由长度为L′= pq的 CRT‐UI序列定义。在此构造中，要求 2W和 L′互素，以便将数组 Ai映射为长度为 L= 2WL′的一维序列si。对 si进行循环移位 τi等价于对 Ai进行相应时间偏移的行方向和列方向移位。 Ai的移位版本记为 Aτi i。

在构造 ∗中，每组中的 个节点与一组 个CRT‐UI 序列u1, u2, . . . , u 相关联。具体而言，如果节点 Ni是第 Gm组中的第 n个节点， m ∈[W], n ∈[ ]，则其数组 Ai中的每一行都由CRT‐UI序列un定义：每行中发送符号 Tm的位置由un中的“1”确定。对于两个节点 Ni和 Nj，如果节点 Ni是 Gm1中的第 n个节点，而节点 Nj是 Gm2中的第 n个节点， m1, m2 ∈[W], m1 ≠ m2, n ∈[`]，则它们的数组 Ai和 Aj中的所有行均由un定义。如果τi= τj，则 Aτi i中的发送符号 Tm1会与 Aτj j中的发送符号 Tm2完全重叠，这表示 Ni和 Nj之间的传输将失败。为了防止这种情况发生，我们为 Ai和 Aj中的行预分配不同的时间偏移。这种预设时间偏移的效果基于CRT‐UI序列的自相关特性，将在定理13的证明中详细说明。这里我们用一个简单的例子来说明其直观效果。

例3 ：给定一个长度为 L= 5 的二进制序列s=[1 1 1 0 0]，我们基于s构造两个 2×L数组 A1和 A2。在每个数组中，第一行为s 本身，第二行是s 具有预设时间偏移的移位版本。我们为这两个数组设置的时间偏移分别为1和2。则得到的数组 A1和 A2如下所示，
$$
A_1=\begin{bmatrix}s \ s^1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} , \quad A_2=\begin{bmatrix}s \ s^2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} .
$$
我们可以验证，无论以何种方式对这两个数组进行列向和行向移动，如果两个移动后数组的第一行完全相同，则第二行必然不同，反之亦然。因此对于 A1，即使第一行或第二行中的所有“1”都与 A2中的“1”发生碰撞，另一行中至少会有一个“1”能够避免碰撞，并成功与 A 2中的“0”匹配。

对于 K 个节点和 M 个可用信道，以及分组划分参数 W和`，构造 ∗ 的详细步骤如下。构造 ∗ 的流程图如图4 所示。

构造 ∗
1) 通过CRT‐UI构造方法构造一组 个序列u 1 , u2,...,u ，其生成器为 g= 1, 2,…, ，汉明重量为 w= +1，其中 p是满足 p ≥max{w, 2W −2}的最小素数， q是与 p和 2W互素且满足q ≥ 2w − 1的最小整数。这些CRT‐UI序列的公共周期为 L ′ = pq。
2) 对于节点 Ni, i ∈[W ]，其为 Gm,m ∈[W], n ∈[ ]中的第 n个节点，我们定义un(Tm, Rr)为将un 中的“1”和“0”分别替换为 Tm和 Rr、 r ∈[W]后得到的序列。定义uδnm(Tm, Rr)为对un(Tm, Rr)按预设时间偏移 δm进行循环移位后得到的序列，其中 δm 定义为 ZL′ 中满足Φp,q(δm)=(m−1, 0)的唯一整数。将un(Tm, Rr)、uδnm(Tm, Rr)按r= 1, 2, . . . , W的顺序堆叠，形成一个 2W × L′ 数组 Ai，如下所示，
$$
A_i= \begin{bmatrix}
u_n(T_m, R_1) \
u_{n}^{\delta_m}(T_m, R_1) \
u_n(T_m, R_2) \
u_{n}^{\delta_m}(T_m, R_2) \
\vdots \
u_n(T_m, R_W) \
u_{n}^{\delta_m}(T_m, R_W)
\end{bmatrix}.
$$
3) 通过以下中国剩余定理对应关系，从 Ai得到长度为L= 2WL′的调度序列si=[si(0) si(1)… si(L −1)] ： si(t)=Ai(t mod 2W, t mod L′) t ∈ ZL.
4) 从 W`个序列中随机选取 K个序列，构成一个(M, K, L)‐调度序列集。

示例4 ：对于4个节点（K= 4）和2个信道（M= 2），我们令W= 2和`= 2，具体地， G 1 ={N1 , N 2} ，G2 ={N3 , N 4} 。在此分组划分下，我们根据构造方法 ∗构建4个调度序列s 1 , s 2 ,s 3 , s 4 。

首先，我们设计一组两个CRT‐UI序列u1 , u2 ，其中 w= 3、 p= 3、 q= 5 的生成器分别为1 和2，如下所示，
u 1 =[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
u 2 =[1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0].

对于节点 N1 , N 2 ∈ G 1 , Φp , q( δ 1) =(0,0)，因此为 δ 1 = 0。对于节点 N3 , N 4 ∈ G 2 , Φp , q( δ 2) =(1,0)，因此为 δ 2 = 10。对于每个节点，我们构造一个 4× 15数组，如(26)所示。该符号 T1, T2, R1和 R2以不同颜色显示，以便于阅读。长度为 L= 60 的调度序列si(i ∈[4])通过映射从 Ai 得到：si(t)= Ai(t mod4, t mod15)。

定理13 : 通过构造 ∗得到的序列集{si: i ∈[K]}是一个(M, K, L)‐调度序列集。

证明 ：我们考虑从 Ni到 Nj的传输，其中i, j ∈[K], i ≠ j。假设 Ni是组Gm中的第 n个节点，且 Nj是组 Gx中的第 y个节点，其中 m, x ∈[W],n, y ∈[`]。由于只有当Nj在信道 m上接收的同时 Ni在信道 m上发送且不与其他节点发生冲突时，传输才成功，因此我们需要考虑sτjj中 Rm’的位置，或等价地考虑A τj j 。根据构造 ∗，在 Aj中有两行包含 Rm’：第2(m − 1)行为uy(Tx, Rm)，第(2m −1)行为uδx y(Tx, Rm)。经过行方向和列方向移位后，在 Aτj j中仍然仅有两行包含 Rm’。这两行的行索引记为η1和 η2，其中 η1, η2 ∈ Z2W。 Aτi i和 Aτj j中的第 η1行和第 η2行如下所示，
$$
A_{\tau_i}^i=
\begin{array}{c}
\vdots \
\text{row } \eta_1: u_{\theta_1}^n(T_m, R_ ) \
\text{row } \eta_2: u_{\theta_2}^n(T_m, R_ ) \
\vdots
\end{array}
,
\quad
A_{\tau_j}^j=
\begin{array}{c}
\vdots \
\text{row } \eta_1: u_{\phi_1}^y(T_x, R_m) \
\text{row } \eta_2: u_{\phi_2}^y(T_x, R_m) \
\vdots
\end{array}
.
$$
注意，在 A τ j j的第 η1行和第 η2行中， Rm位置由 CRT‐UI序列uy分别以时间偏移 φ1和φ2定义。 φ1, φ2的值取决于τ j，并满足|φ1−φ2| = δx。在 Aτ i η1行和第η2行中， Tm位置由CRT‐UI序列un分别以时间偏移 θ1和θ2定义。 θ1, θ2的值取决于 τi，并满足|θ1 − θ2| = δm。A τ i R∗表示一个接收符号，具体的信道编号对讨论不重要。

我们用 Nη 1 （或 Nη 2 ）表示在A τ i i 的第 η 1行（或第 η 2行）中与A τ j j的第 η 1行（或第 η 2行）中的一个 R m重叠而非 T x的无碰撞 T m的数量；用 N o η 1 （或 N o η 2）表示在A τ i i 的第 η 1行（或第 η 2行）中与A τ j j的第 η 1行（或第 η 2行）中的一个 T x重叠的 T m的数量；并用 N c η 1 （或 N c η 2）表示在A τ i i 的第 η 1行（或第 η 2行）中与其他 G m 数组中的 T m 发生碰撞的 T m 的数量。显然
$$
N_{\eta_1} \geq w -N_{\eta_1}^o -N_{\eta_1}^c , \quad N_{\eta_2} \geq w -N_{\eta_2}^o -N_{\eta_2}^c , \quad (27)
$$
其中 w=`+1。

接下来我们验证以下条件是否可以满足：对于所有可能的 τ，在 A τ i i 的第 η 1 行或第 η 2 行中，至少存在一个与A τ j j中的 R m 重叠的无碰撞 T m 。即对于所有可能的 τ，max(Nη 1 ,Nη 2 ) ≥ 1成立。为了验证这一点，我们需要检查以下三种情况。在每种情况下，对于所有可能的 τ，均有 N c η 1 ,N c η 2 ≤ −1成立。这是因为根据构造 ∗， Gm中数组的行由u1, u2,..., u 这 |Gm| 个 CRT‐UI序列确定，这些序列具有如下性质：无论怎样对它们进行循环移位，任意一对序列之间的汉明互相关至多为1。

1) 发送方 Ni和接收方 Nj来自同一组，即m= x。在这种情况下，N o η1+N c η1 ≤`−1 n ≠ y。然后根据（27），我们得到Nη1,Nη2 ≥ 2。

2) 发送方 Ni和接收方 Nj来自不同的组且 n ≠ y。在这种情况下， N o η1 ,N o η1,N o η2的值由un和uy之间的汉明互相关决定，对于所有可能的 θ1, θ2和 φ1, φ2，其值不超过1。然后根据(27)以及 N c η1, N c η2 ≤` − 1的事实，我们得到Nη1,Nη2 ≥ 1。

3) 发送方 Ni和接收方 Nj来自不同的组且 n= y。在这种情况下， N o η1 ,N o η2的值由 un的自相关性决定。根据以下命题14，对于所有可能的 θ1, θ2以及 φ1, φ2，有 min(N o η1 ,N o η2) ≤ 1。然后由(27)及 N c η1 ,N c η2 ≤ `−1可知， max(Nη1,Nη2) ≥ 1。

总之，对于所有可能的 τ，max(Nη1 ,Nη2) ≥ 1成立。即，通过构造 ∗得到的序列集{si： i ∈[K]}可以保证在任意 i,j ∈[K]、 i ≠ j以及所有可能的 τ情况下，从 Ni到 Nj至少存在一次无冲突传输。因此，它是一个(M, K, L)‐调度序列集。

命题14 ：如果 m ≠ x, n= y，则对于所有可能的 θ1, θ2和φ1, φ2，min(N o η 1 ,N o η 2) ≤ 1。

证明 ：根据构造 ∗, |θ1−θ2| = δm, |φ1−φ2| = δx.，用τi,j,1, τi,j,1= θ1−φ1表示Aτi i 中第 η1 行与A τ j j中第 η1 行之间的时间偏移。用τi,j,2, τi,j,2= θ2 − φ2表示Aτi i 中第 η2 行与 A τ j j中第 η2 行之间的时间偏移。因此有
$$
\tau_{i,j,2}= \tau_{i,j,1} \pm(\delta_m \pm \delta_x). \quad (28)
$$
接下来，我们首先分析 N o η 1的值，该值等于un与u τ i 1 n j ,, Hn,n(τi,j,1)之间的汉明自相关，在以下两种情况下进行分析。

1) Φp , q( τ i, j ,1) ≠(n, 1)a，对于 a ∈{0,±1,…,±(w − 2)}。在这种情况下， N o η 1 = 0或1，因为根据引理7，我们有Hn,n({v6}, j ,1)=0或1。

2) Φp,q( τi,j,1)=(n, 1)a，对于 a ∈{0,±1,…,±(w−2)}。在这种情况下，N o η 1 = Hn,n(τi,j,1) ≥ 2。然后我们分析 N o η 2 的值，它等于un和uτ i 2 n j之间的汉明自相关，，，H n,n(τi,j,2)。我们通过反证法证明 N o η 2 ≤ 1如下。假设Hn,n(τi,j,2) ≥ 2。这意味着Φp,q( τ i,j,2)=(n, 1)b，对于 b ∈{0,±1,…,±(w − 2)}。令 c= a − b, c ∈{0,±1,…,±2(w − 2)}。然后我们讨论该假设在以下由(28)指出的情况中是否成立：

a) τ i, j ,2 = τ i, j ,1 −(δm −δ x). In this case,Φ p , q( δ m −δ x)= (nc mod p, c mod q). By Construction ∗, Φ p , q( δ m)=(m − 1, 0), Φp , q( δ x)=(x − 1, 0), then we haveΦ p , q( δ m − δ x)=((m− x) mod p, 0). Thus
$$
m− x ≡ nc \mod p, \quad (29)
$$
$$
0 ≡ c \mod q. \quad (30)
$$
由于 q ≥ 2w − 1> |c|，因此(30)意味着 c= 0。然而，(29)在 c= 0的情况下无法成立，因为 m−x ∈{±1,±2,…,±(W −1)}且 p ≥ 2W −2。

b) τi,j,2= τi,j,1−(δm+δx)。在这种情况下，Φp,q(δm+δx)=(nc mod p, c mod q)。根据构造 ∗， Φp,q(δm+δx)=((m+ x−2) mod p,0)，因此
$$
m+ x − 2 ≡ nc \mod p, \quad (31)
$$
$$
0 ≡ c \mod q. \quad (32)
$$
同样，(32)意味着 c= 0。然而，由于 m+ x−2 ∈{1, 2,…, 2W −3}和 p ≥ 2W −2，(31)无法成立。

c) τi,j,2 = τi,j,1 +(δm ± δx)。通过对情况(a)和(b)进行相同的分析，我们也可以得出假设Hn,n(τi,j,2) ≥ 2不成立。因此，我们得出结论：如果 N o η 1 ≥ 2，则 N o η 2 ≤ 1。这完成了命题14的证明。

七. 均匀分组下周期 L的讨论

在本节中，我们讨论在均匀分组下通过构造 ∗ 所得到的序列周期。给定 K 和 M，我们考虑能够最小化周期 L的最优值。我们提出以下算法。定义
$$
M’ = \left\lceil \sqrt{\frac{K^2 + 9}{16}} + \frac{3}{4} \right\rceil . \quad (33)
$$
如果 M> M ′，则令 W= M ′，否则令 W= M。

我们对本算法提供一个直观的解释如下。根据构造， p是满足 p ≥max{w, 2W−2}的最小素数。为了简化后续讨论，我们假设 dK/We ≈ K/W。

1) M ≤ M ′。在这种情况下， W ≤ M ′，则 w ≥ 2W−2，因此p ≥ w。当 w为素数，且(2w−1)与2W和 w互素时，我们设 p = w 和 q = 2w −1，然后
$$
L= 2Wpq= 4K^2/W +6K+2W. \quad (34)
$$
根据(34)，当 K固定且 W ≤ M′时， L是关于 W的减函数。因此，在 M ≤ M′的情况下，当 W= M时，L被最小化。

2) M> M′。我们考虑 W ≥ M′。在这种情况下， p ≥2W − 2。当(2W − 1)为素数，且(2w − 1)与 2W和(2W − 1)互素时，我们设