2.2 变换（模型、视图、投影）

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#计算机图形学 #正交变换 #透视变换 #图形变换

变换（模型、视图、投影）

三维变换

  • 仿射变换
  • 三维旋转变换
    • 逆时针角度为正
    • 右手系原因，y轴逆时针看去是 zox 平面，所以转角应该是 − α -\alpha −α
    • 也可理解为
      • z × x = y   , x × z = − y z \times x = y\ , \quad x \times z = -y z×x=y ,x×z=−y
        三维旋转矩阵
  • Rodrigues’ Rotation Formula
    • 给定过原点旋转轴 n， 旋转角 α \alpha α，旋转矩阵如下
    • 非过原点轴，先把轴平移到原点，旋转，再平移回去

RRF旋转矩阵

  • 四元数（略）

观测变换（Viewing transformation）

视图 （View）

  • 什么是视图变换
  • 模型变换与视图变换，两者通常一同处理
    • 改变模型动作，模型变换
    • 改变相机视角，视图变换
    • 拍照，相当于投影变换
  • 为什么要模型 / 视图变换
    • 因为模型有很多顶点
    • 这些顶点坐标是模型空间下的
    • 需要移动到世界坐标
    • 所以要做模型变换

定义相机

  • 位置 / position e ⃗ \quad \vec{e} e
  • 朝向 / gaze direction g ^ \quad \hat{g} g^​
  • 向上方向 / Up direction t ^ \quad \hat{t} t^

定义相机

  • 约定俗成的相机
    • 永远放在原点
    • 永远朝向 − Z -Z −Z
    • t ^ = Y \hat{t} = Y t^=Y

如何将相机移动到约定俗成位置

  • 相机变换过程
    • 平移到原点
    • 旋转   g ^ = − Z \ \hat{g} = -Z  g^​=−Z
    • 旋转   t ^ = Y \ \hat{t} = Y  t^=Y
    • 旋转   g × t = X \ g \times t = X  g×t=X
  • 相机变换矩阵推导（旋转矩阵可以逆向思维）
    相机变换矩阵

投影 （Projection）

  • 3D到2D
  • 正交是垂直
  • 透视投影平行线不再平行
    • 近大远小

正交（Orthography） M o \quad M_o Mo​

  • 简单的正交投影
    • Z归零
    • 归一化   [ − 1 ,   1 ] \ [-1,\ 1]  [−1, 1]
  • 常规的正交投影
    • 立方体中心平移到原点
    • 边长归一化   [ − 1 ,   1 ] \ [-1,\ 1]  [−1, 1]
  • 正交变换矩阵如下：
    正交变换矩阵

透视（Perspective） M p \quad M_p Mp​

  • 特点
    • 最广泛的投影
    • 近大远小
    • 平行线不再平行
  • 投影方法
    • 从透视变换到正交
    • 正交投影
    • 假设显示屏幕距原点距离为   n \ n  n
  • 透视到投影矩阵推导（根据以下三个点）
    • 通俗的讲，把梯形压缩成长方形
      • 中间点等比例变换
      • 近平面、远平面上的 Z Z Z 坐标不变

压缩图解
( x , y , z , 1 ) → ( x ′ , y ′ , z , 1 ) ( x ′ , y ′ , z ′ , 1 ) → ( x ′ , y ′ , z ′ , 1 ) (x, y, z, 1) \rightarrow (x', y', z, 1) \quad \quad (x', y', z', 1) \rightarrow (x', y', z', 1) (x,y,z,1)→(x′,y′,z,1)(x′,y′,z′,1)→(x′,y′,z′,1)

  • 透视变换矩阵如下
    M p = M o ⋅ ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + z − n z 0 0 1 0 ) M_p = M_o \cdot \left( \begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+z & -nz \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right) Mp​=Mo​⋅⎝⎜⎜⎛​n000​0n00​00n+z1​00−nz0​⎠⎟⎟⎞​

透视变换，中间平面的 z z z 坐标如何变化？

WebGL系列教程十（模型Model、视图View、投影Projection变换）
AIGIS的博客
09-19 1184
本文讲解了模型、视图、投影变换的原理，并具体分析了MVP变换过程中的推导过程及调用过程，在实际应用中，各个框架都提供了进行这三个变换的方法，因此不必拘泥于具体的调用，了解原理即可。本文在理解上是有一定难度的，希望读者仔细揣摩，回见~
计算机图形学笔记（观测变换、模型变换、视图变换、投影变换、视口变换）
m0_52548956的博客
04-30 2526
计算机图形学笔记（观测变换、模型变换、视图变换、投影变换、视口变换） 目录计算机图形学笔记（观测变换、模型变换、视图变换、投影变换、视口变换）一、介绍（一）模型变换（Model transformation）（二）视图变换（View transformation）（三）投影变换（Projection transformation）（四）视口变换（Viewport transformation）二、使用步骤1.引入库2.读入数据总结 一、介绍 我们可以这样来描述观测变换（Viewing transform
相机投影变换的模型
weixin_42576410的博客
01-07 333
相机投影变换是一种将三维坐标系上的点投影到二维坐标系上的过程。它是通过将三维坐标系中的点连接到相机的投影平面来实现的。 具体来说，我们可以通过以下方程来描述相机投影变换的模型： x = X / Z y = Y / Z 其中 (x, y) 是投影后的二维坐标，(X, Y, Z) 是三维坐标系中的坐标。 需要注意的是，这个模型假设了相机的投影平面是无限远处的，因此实际上还需要加入一些额外的参数来考虑相...
3、计算机图形学——模型视图变换、投影变换与视口变换
Master Cui的博客
07-29 4381
一、模型视图变换 模型视图变换主要是为了让摄像机回归到世界坐标的原点并且和拍摄物体一起进行变换，便于计算 模型视图变换的根据就是物体和相机的相对位置不变，那么，投影得到的图片也是不变的 首先规定相机拍摄方向朝向-Z，相机的位置位于e，相机的正上方可以用向量t来表示，那么将相机移动到世界坐标的原点的过程如下图 首先需要将相机平移值世界坐标原点，平移矩阵就可以写成 然后分别需要将g旋转到-Z，将t旋转到Y，将g叉积t的方向旋转到X，然而，这个旋转对应的旋转矩阵并不容易写出，但是如果将Z旋转到-
模型视角变换与投影
Dezeming的博客
01-15 4301
计算机图形学技术见计算机图形学技术 好像还从来没写过与模型视角变换方面的内容，打算认真写写。 目录 模型在世界坐标系下的变换 转换到摄像机空间 投影 正规视体到屏幕坐标 整个模型视角变换流程大致如下（图片来自虎书）： 其中，正规视体是三维坐标都在-1到1之间的立方体。 模型在世界坐标系下的变换 首先通过缩放旋转平移矩阵将物体转移到世界坐标系下： , 其中表示模型自身的坐标位置，经过矩阵变换后可以转移到世界坐标位置。 转换到摄像机空间 相机空间中，相机位置在原点，看向-...
three.js中的矩阵变换(模型视图投影变换)
ALLENJIAO的专栏
03-16 2809
目录 1. 概述 2. 基本变换 2.1. 矩阵运算 2.2. 模型变换矩阵 2.2.1. 平移矩阵 2.2.2. 旋转矩阵 2.2.2.1. 绕X轴旋转矩阵 2.2.2.2. 绕Y轴旋转矩阵 2.2.2.3. 绕Z轴旋转矩阵 2.3. 投影变换矩阵 2.4. 视图变换矩阵 3. 着色器变换 3.1. 代码 3.2. 解析 4. 其他 1. 概述 我在《WebGL简易教程(五)：图形变换(模型、视图、投影变换)》...
C++图形学深度解析：掌握3D图形变换与视图投影
[C++图形学深度解析：掌握3D图形变换与视图投影](https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/E0P3ucicTSFTRCwvkichkJF4QwzdhEmFOrvaOw0O0D3wRo2BE1yXIUib0FFUXjLLWGbo25B48aLPrjKVnfxv007lg/640?wx_fmt=jpeg) # 1. C++图形学...
图形学-(视图变换,投影变换)
weixin_46773434的博客
10-20 2315
在 3 维物体变到二维平面的过程中，我们需要规定好相机的位置。对于相机所做的变换就是视图变换 （Viewing/Camera transformation）。 我们需要对相机位置进行定义，对于一个相机我们要规定下面三个属性：根据相对运动我们可以知道，只要相机和被拍摄物体相对位置不变，那么拍摄出来的照片应当是一样 的。我们可以通过对被拍摄物体做相同的变换来把相机变换到标准位置。相机的标准位置为将任意位置的相机移动到标准位置需要以下操作：平移变换的变换矩阵可以写作： 旋转矩阵的写法比较麻烦。从 ̂𝑔 旋转到
(十六)视图变换 正交投影 透视投影
bureau123的博客
07-09 492
include <glad/glad.h>//glad必须在glfw头文件之前包含//GLM//4×4单位矩阵//lookat:生成一个viewMatrix//eye:当前摄像机所在的位置//center:当前摄像机看向的那个点//up:穹顶向量//参数为盒体上下左右远近//颜色//索引0, 1, 2,//uv坐标//2 VBO创建//3 EBO创建//4 VAO创建vao = 0;
OpenGL中的视图投影矩阵：变换的基础与实践，让你的图形更加逼真
![OpenGL中的视图投影矩阵：变换的基础与实践，让你的图形更加逼真](https://bobhan1.github.io/imgs/modelview.png) # 1. OpenGL视图投影基础概述 ## 简介 ...在OpenGL中，视图投影可以分解为视图变换
【计算机图形学入门】笔记4：变换（模型、视图、投影）
立志冲海大
12-09 710
如果我们相求一个旋转的逆，就是往相反的方向旋转相反的角度，我们只需要写一个正向的旋转，然后把这个矩阵转置过来。旋转操作：我们将某个数旋转到已知向量不好写，但从已只向量旋转到某个数可以写出来，再求出结果的逆即可。先把e移动到原点，再旋转g到-z，t到y，最后自然能求出x方向。2.把相机的位置固定，相机永远在原点，相机永远朝向-z方向看。1.补充知识：旋转的逆=旋转矩阵的转置（正交矩阵）移动到原点的平移操作，也就是先平移再旋转。进平面n，远平面f，中心点都不会变。正则/规范立方体，f是远，n是近。
计算机图形学二：视图变换(坐标系转化，正交投影，透视投影，视口变换)
吃人的博客
04-04 2万+
视图变换（Viewing Transformation） 我们可以这样来描述视图变换的任务：将虚拟世界中以（x,y,z)为坐标的物体变换到 以一个个像素位置(x,y) 来表示的屏幕坐标系之中(2维)，这确实是一个较为复杂的过程，但是整个过程可以被细分为如下几个步骤： (1) 模型变换(modeling tranformation)：这一步的目的是将虚拟世界中或者更具体点，游戏场景中的物体调整至他们...
计算机图形学（五）：三维图形观察及应用（投影变换与透视变换）
乔卿的博客
12-23 5207
投影变换 投影透视变换 - 百度文库 透视变换 透视变换（Perspective Transformation）的本质是将图像投影到一个新的视平面，其通用变换公式为： （u，v）为原始图像像素坐标，（x=x’/w’，y=y’/w’）为变换之后的图像像素坐标。透视变换矩阵图解如下： 先前研究过的仿射变换（Affine Transformation）可以理解为透视变换的特
Opencv_10 图像的透视变换
Fioman_GYM的博客
05-16 2722
文章目录一. 透视变换的原理二. 透视变换实现① 函数原型: 一. 透视变换的原理 透视变换(Perspective Transformation)是将图片投影到一个新的视平面(Viewing Plance),也称为投影映射(Projective Mapping).通用的变换公式为: 透视变换矩阵 (x,y,1)是原点, [X,Y,Z]是变换后的点位 这是一个二维空间变换到三维空间的转换,因为图像在二维平面,故除以Z 二. 透视变换实现 ① 函数原型: ...
[openGL]正交投影，透视投影，MVP变换
qq_43331089的博客
06-11 4306
视图变换顾名思义就是把你所看到的图变换，举个简单的例子，打比方在日常生活中你去拍照，你首先会取景，然后把你想拍的东西都摆放好，这一步叫做model transformation（模型变换）。接下来你肯定会挑选一个特定的角度摆放你的摄像机，这一步就叫做view transformation（视图变换）。然后按下快门后把图片拍下来，这一步就叫做projection transformation（投影变换）。
详解OpenGL中的各种变换（投影变换，模型变换，视图变换）（一）——模型变换和视图变换...
weixin_30258901的博客
09-05 583
　　本文一些用于均参考《OpenGL编程指南（第8版）》，有兴趣的同学可以结合一起看。这篇算是整合补充。 　　OpenGL采用的是相机模型，就是把视图变换操作类比为使用照相机拍摄照片的过程，具体步骤如下（这里和红宝书有一些改变）： 将准备拍摄的对象移动到场景中指定位置。（模型变换，Model Transform） 将相机移动到准备拍摄的位置，将它对准某个方向。（视图变换，Vie...
正交投影与变换
Machine Learning with Tutors
12-24 1万+
投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换P是投影，当且仅当。另外一个定义则较为直观：P是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得P将所有V中的元素都映射到W中，而且P在W上是恒等变换。用数学的语言描述，就是：，使得，并且。
平面的投影变换(1)——什么是投影变换？
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自由男神的博客
08-24 2万+
研究平面投影变换的任务是对一个平面在透视摄像机上成像时产生的几何畸变进行建模。由于增加了“理想点”，我们将传统的欧式空间拓展到了投影空间。在齐次坐标系上的任何可逆的线性变换都是一个投影。沿着通过一个共同点（投影中心）的射线进行投影，叫做透视，而不是一个全投影，它只有6个自由度。通过对成像进行反变换，可以去除投影畸变。
几何变换——关于透视变换和仿射变换以及齐次坐标系的讨论
机器学习杂货铺1号店
10-26 3100
几何变换——关于透视变换和仿射变换以及齐次坐标系的讨论 2019/10/26 FesianXu 前言 在本文首先介绍了引入齐次坐标系的必要性，随后介绍了在几何变换中常见的投射变换和仿射变换，这俩种变换在计算机视觉问题中，包括在相机成像过程中都是很基础并且重要的内容。 如有谬误，请联系指正。转载请注明出处。 ∇\nabla∇ 联系方式： e-mail: FesianXu@gm...
仿射模型
最新发布
09-28
<think>我们正在讨论仿射模型。根据用户提供的引用内容，仿射模型在多个领域都有应用：运动恢复结构（引用[1]）、机器学习中的线性模型（引用[2]）、视频编码中的运动补偿（引用[3]）、计算机图形学中的变换（引用[4]）以及远心镜头的标定（引用[5]）。用户的问题直接是“我想了解仿射模型的相关信息”，因此我们需要给出一个全面的介绍。 由于引用内容分散在不同领域，我们需要整合这些信息，同时补充必要的背景知识。仿射模型的核心是仿射变换，它是一种保持线性性质和平行关系的几何变换。 根据引用[4]，仿射变换在三维空间中是通过齐次坐标表示的，包括线性变换（缩放、旋转等）和平移变换。具体形式为： $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & t_y \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} $$ 其中，左上角的3x3矩阵是线性变换部分，最后一列的前三个元素是平移分量。 在机器学习中（引用[2]），仿射函数通常指线性函数加上一个偏置项，即 $y = \mathbf{w}^T\mathbf{x} + b$。引用[2]提到，虽然严格来说这是仿射函数，但通常被称为线性模型。 在视频编码（引用[3]）中，仿射运动补偿用于处理复杂的运动（如旋转、缩放），而不仅仅是平移。它通过多个运动矢量来描述一个块的运动，比传统的平移模型更精确。 在计算机视觉中的运动恢复结构（引用[1]）中，仿射模型用于从运动恢复场景的三维结构，分为仿射形状恢复和欧几里得结构恢复两个步骤。 在远心镜头标定（引用[5]）中，仿射模型被用于简化标定过程，因为远心镜头具有特殊的成像性质（无透视畸变），可以用仿射变换来近似。 因此，我们的回答应该涵盖： 1. 仿射变换的数学定义（几何角度）。 2. 在机器学习中的线性模型（仿射函数）。 3. 在视频编码中的应用（仿射运动补偿）。 4. 在运动恢复结构中的应用。 5. 在远心镜头标定中的应用。 我们将按照以下结构组织回答： 一、仿射模型的基本概念 1.1 几何定义（仿射变换） 1.2 数学表达式（齐次坐标） 二、不同领域的仿射模型应用 2.1 计算机图形学与视觉（引用[4]和引用[1]） 2.2 机器学习（引用[2]） 2.3 视频编码（引用[3]） 2.4 远心镜头标定（引用[5]） 三、仿射模型的特点总结 最后，生成相关问题。 注意：引用标识要自然添加在相关内容的末尾。 </think>### 仿射模型全面解析 仿射模型是计算机视觉、图形学和机器学习中的重要数学工具，本质是**线性变换与平移变换的组合**，保持几何体的平行性和比例关系。其核心表达式为： $$ \mathbf{y} = A\mathbf{x} + \mathbf{b} $$ 其中 $A$ 是线性变换矩阵，$\mathbf{b}$ 是平移向量。 #### 一、核心数学原理 1. **仿射变换定义** 在 $n$ 维空间中，变换满足： $$ T(\mathbf{u}) = M\mathbf{u} + \mathbf{c} $$ 其中 $M$ 是可逆矩阵（线性变换），$\mathbf{c}$ 是平移向量。该变换保持： - 平行直线仍平行 - 直线中点仍为中点 - 固定比例（如线段三等分点变换后仍为三等分点） 2. **齐次坐标表示**（引用[4][^4]） 为统一表示变换，引入齐次坐标： $$ \begin{bmatrix} \mathbf{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} M & \mathbf{c} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{bmatrix} $$ 典型三维变换矩阵形式： $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & t_y \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ #### 二、关键应用领域 1. **计算机视觉 - 运动恢复结构**（引用[1][^1]） - **步骤1**：通过多视图建立场景三维仿射形状 - **步骤2**：结合相机参数约束恢复欧几里得结构 - 优势：降低计算复杂度，适用于弱透视投影 2. **视频编码 - 运动补偿**（引用[3][^3]） 用于处理复杂运动（缩放/旋转）： - 通过贝叶斯决策选择仿射模式：$ p(S_{\text{par}}) $ 表示父块最优模式概率 - 当 $ p(U_{\text{cme}}) $（单向预测概率）高时，优先选用平移模型而非仿射 3. **远心镜头标定**（引用[5][^5]） 建立世界坐标 $(X_W, Y_W, Z_W)$ 到像素坐标 $(u,v)$ 的映射： $$ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \cdot \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_W \\ Y_W \\ Z_W \\ 1 \end{bmatrix} $$ 其中 $K$ 为内参矩阵，$R,\mathbf{t}$ 为旋转平移矩阵 4. **机器学习 - 线性模型基础**（引用[2][^2]） 仿射函数作为线性回归核心： $$ f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^T\mathbf{x} + b $$ 当 $b=0$ 时为线性函数，实际应用中统称“线性模型” #### 三、仿射模型特性 | **特性** | **说明** | **应用影响** | |----------------|---------------------------------------|----------------------------------| | 平行保持性 | 平行线变换后仍平行 | 三维重建中保持结构稳定性 | | 非保距性 | 距离和角度可能改变 | 需额外校准恢复欧几里得空间 | | 可逆性 | 变换矩阵可逆时存在逆变换 | 视频追踪中的运动补偿与反补偿 | | 参数化简单 | 仅需 $n^2 + n$ 个参数（$n$ 维空间） | 实时图形渲染的高效性 | #### 四、典型实现示例（Python） ```python import cv2 import numpy as np # 定义仿射变换矩阵（旋转30度 + 平移[50,20]） theta = np.radians(30) M = np.float32([[np.cos(theta), -np.sin(theta), 50], [np.sin(theta), np.cos(theta), 20]]) # 应用至图像 img = cv2.imread('input.jpg') rows, cols = img.shape[:2] dst = cv2.warpAffine(img, M, (cols, rows)) cv2.imshow('Affine Transform', dst) cv2.waitKey(0) ``` #### 五、与其他模型的对比 | **模型类型** | **保持特性** | **适用场景** | |----------------|----------------------------|----------------------------------| | 仿射模型 | 平行性、比例关系 | 远心镜头标定、运动恢复结构 | | 欧几里得模型 | 距离、角度、形状 | 高精度三维重建 | | 投影模型 | 直线仍为直线（不保平行） | 普通相机成像 |
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