整数拆分问题详解

http://blog.youkuaiyun.com/pipisorry/article/details/37879761

问题： 

给定一个整数n，要找出n能拆分成多少种不同的若干个数的和与乘积的形式。比如：

    4=4                   12=1*12
    4=1+3               12=2*6
    4=2+2               12=3*4
    4=1+1+2           12=2*2*3

    4=1+1+1+1

加法形式：

方法1：

可以构造一个母函数F(x)=(1+x+x^2+...+x^n)(1+x^2+x^4+...+x^n)...(1+x^n)，将这个母函数展开后，求出每一个x^k前面的系数Ck，就是对应的整数K有多少种拆分的形式。

（母函数：详见电子科大出版社 - 组合数学p56、p69)

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/*	 POJ读书笔记9.5 —— 放苹果1664&整数拆分问题	皮皮 2014-7-16	*/
/****************************************************************************/
#include <stdio.h>

/*	整数拆分非递归算法(母函数方法)(不能用于m > n的放苹果问题中)	*/
const int MAXN = 120;
int c1[MAXN+1],c2[MAXN+1];				//c2数组表示每一轮乘法后得到系数，c1数组表示到现在为止乘法得到的系数总和
static void integerDivide3(){
	int i,j,k,q;
	for(i=0;i<=MAXN;i++)
		c1[i]=1,c2[i]=0;

	for(i=2;i<=MAXN;i++){				//i表示第i - 1轮乘法x次方变化数（从2开始计算，第一个），即拆分成i的个数（母函数性质）
		for(j=0;j<=MAXN;j++)			//当前*左边次方数j,为0 ~ MAXN
			for(k=0;k+j<=MAXN;k+=i)		//乘上右边的次数k
				c2[j+k]+=c1[j];			//次方数为j + k的系数加1

		for(q=0;q<=MAXN;q++)
			c1[q]=c2[q],c2[q]=0;
	}

	int m;
	scanf("%d", &m);
	printf("算法3	整数%d 共有 %d 种拆分方式\n", m, c1[m]);
}


int main(){
	while(1)
		integerDivide3();
	return 0;
}

方法2：

/****************************************************************************/
/*	 POJ读书笔记9.5 —— 放苹果&整数拆分问题	皮皮 2014-7-16	*/
/****************************************************************************/
#include <stdio.h>

/*	拆分算法,最多划分n份，而不是刚好划分n份	*/
static int divide(int m, int n){
	if( m == 0 || n == 1 )						// || m == 1 可加可不加
		return 1;
	if(m < n)		
		return divide(m, m);
	/*	m >= n时，m拆分为<=n份，则拆分情况 = 拆分了n份 + 拆分了<n份
	m放到n个盒子都有，则<=>m-n放到n个盒子；m放到<n个盒子，则<=>m放到n-1个盒子的情况	*/
	return divide(m - n, n) + divide(m, n - 1);	
}

/*	整数划分递归算法1(从放苹果问题引出)		*/
static void integerDivide(){
	int m;
	scanf("%d", &m);
	printf("算法1	整数%d 共有 %d 种拆分方式\n", m, divide(m, m));
}

int main(){
	while(1)
		integerDivide();
	return 0;
}

方法3：

/****************************************************************************/
/*	 POJ读书笔记9.5 —— 放苹果&整数拆分问题	皮皮 2014-7-16	*/
/****************************************************************************/
#include <stdio.h>

/*	整数划分	*/
static int integerDivide(int num, int max){	//需要拆分的数是num, 最大拆分出来的数是max
	if(num == 0 || max == 1)				//num == 0 || max == 1时不可继续拆分
		return 1;
	if(num <= max){							//需要拆分的数num < 最大拆分出来的数max,则只能从num大小继续拆分num
		int count = 0;
		for(int i = num; i >= 1; i--)
			count += integerDivide(num - i, i);
		return count;
	}else{									//需要拆分的数num > 最大拆分出来的数max,则继续从max大小拆分num
		int count = 0;
		for(int i = max; i >= 1; i--)
			count += integerDivide(num - i, i);	//注意是num - i!!!
		return count;
	}
}
/*	整数拆分递归算法2		*/
static void integerDivide2(){
	int m;
	scanf("%d", &m);
	printf("算法2	整数%d 共有 %d 种拆分方式\n", m, integerDivide(m, m));
}

int main(){
	while(1)
		integerDivide2();
	return 0;
}

乘积的形式

设n=i*j，dp[n]为整数n拆分成乘积形式的个数，dp[n]=∑dp[i]=∑dp[j] (i∈{i : i*j=n}，j∈{j : i*j=n})，这就是这个问题的状态转移方程，具有动态规划问题的最有子结构性质。

 #include <iostream>
 using namespace std;
 
 const int MAXN = 200000;
 int dp[MAXN+1];
 
 int main(){
     int i,j,n;
     for(dp[1]=1,i=2;i<=MAXN;i++)
         for(j=1;i*j<=MAXN;j++)
             dp[i*j]+=dp[j];
     while(cin>>n) cout<<dp[n]<<endl;
     return 0;
 }

from:http://blog.youkuaiyun.com/pipisorry/article/details/37879761

ref:http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/05/06/82088.html

整数分割组合总数并打印出所有情况http://blog.youkuaiyun.com/yysdsyl/article/details/192157

算法练习之整数分割问题java实现：http://www.cnblogs.com/yjiyjige/archive/2013/04/18/3029583.html（有拆分形式输出）

整数拆分的两种解法（有输出和非递归算法）http://blog.youkuaiyun.com/lawrencesgj/article/details/8034216