稳定匹配问题（FROM Gale-Shapley TO 匈牙利算法）

稳定匹配与匈牙利算法

最新推荐文章于 2025-09-11 16:11:56 发布

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本文深入解析了盖尔沙普利算法和匈牙利算法在稳定匹配问题中的应用，详细介绍了两种算法的原理与步骤，特别是匈牙利算法在二部图最大匹配问题中的核心——增广路径的寻找过程。

稳定匹配问题（FROM Gale-Shapley TO 匈牙利算法）

匈牙利算法可以參考本片博客：(https://www.jianshu.com/p/cb685445e8b1)

盖尔沙普利算法原理：

初始化所有 $\in M,w \in W,$ 所有的m和w都是自由状态；
while(存在男人是自由的，并且他还没有对每个女人都求过婚)
{
     选择一个这样的男人m；
     w = m的优先选择表中还没有求过婚的排名最高的女人；
     if(w 是自由状态)
     {
          将 (m,w) 的状态设置为约会状态;
     }
     else /* w 已经和其他男人约会了*/
     {
          m’ = w 当前约会的男人;
          if(w 更喜爱 m’ 而不是 m)
          {
               m 保持单身状态(w 不更换约会对象);
          }
          else /* w 更喜爱 m 而不是 m’*/
          {
               将 (m,w) 的状态设置为约会状态;
               将 m’ 设置为自由状态;
          }
     }
}
输出已经匹配的集合S

盖尔沙普利算法原型就是解决婚姻匹配的问题，以上便是其精髓。能够轻松正确的

理解了上面的算法，你才有可能理解下面介绍的匈牙利算法（针对作者本人而言 ^ _ ^ ）

匈牙利算法：

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。（以上来自百度）废话不多说，直入主题。
先来看几个概念：
1、二部图： 二部图是这样一个图，它的顶点集合V可以划分为X和Y两个集合，它的边集合E中的每条边都有一个端点在X集合，另一个端点在Y集合。如下图：
二部图示例
2、匹配： 在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

3、最大匹配： 一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。如下图：
二部图的最大匹配图

4、完美匹配： 当M是二部图的最大匹配且没有未覆盖点的时候，则这个集合M就是二部图的完美匹配。上图中的匹配就是完美匹配。

最后一个最关键的概念：增广路径；
5、增广路径： 具有如下特点：
1－P的路径长度必定为奇数。
2－起点在左，终点在右。
3－路径中的点左右交替出现。
4－只有起点和终点是未覆盖点，其他点都配对。
5 -对增广路径编号，所有奇数的边都不在M中，偶数边在M中。
6 -对增广路径取反得到的匹配比原来匹配多一个。

来个实例，寻找下图的最大匹配：

在这里插入图片描述

首先M集合为空（即没有边在里面），然后开始从X1寻找增广路，遵循2的原则我们只能在Yi中找，找到Y1，（X1，Y1 ）这条路径，满足1-5的条件,取反，将（X1，Y1 ）这条路径加入到M中。

在这里插入图片描述

接着，我们找到X2点，遵循原则，找到Y1。但是Y1不是未覆盖点，所以(X2,Y1)不是增广路，但是Y1连着X1，X1又和Y3相连，我们考虑（ X2,Y1,X1,Y3 ）。这条路径，奇数？左右交替？起终点未覆盖？奇路径不属于M偶路径属于？满足所有增广路条件，所以这是一条增广路径，然后取反，得到如下图。

在这里插入图片描述

增广路径是匈牙利算法的核心，每找到一条增广路径，意味这M集合中边的数量就会增加1，当找不到增广路径的时候，这个时候M中边的数量就是我们二部图的最大匹配数量。
当我们从X2开始寻找时，我们找到了Y1。但Y1不是未覆盖点，则我们考虑Y1原有的匹配点X1。从X1我们开始找增广路，找到了Y3，当X1有增广路的时候，加上(X1,Y1)原来X1的增广路，再加上(X2,Y1) 现X2的增广路，依然满足增广路条件。形成了（X2,Y1）—（Y1,X1）—（X1,Y3）新的增广路，伪代码如下：

while(找到Xi的关联顶点Yj)
{
     if(顶点Yj不在增广路径上)
     {
           将Yj加入增广路
           if(Yj是未覆盖点或者Yj的原匹配点Xk能找到增广路径)
           { //扩充集合M
                 将Yj的匹配点改为Xi;
                 返回true
           }
    }
    返回false
}

这里时C代码实现：

typedef struct tagMaxMatch{
   int edge[COUNT][COUNT]; //顶点与边的关系表，用来表示二部图。
   bool on_path[COUNT]; //表示顶点Yj是否已经在当前搜索过程中形成增广路径上了
   int path[COUNT]; //当前找到的增广路径
   int max_match; //当前增广路径中边的条数
}GRAPH_MATCH;

void outputRes(int *path){
   for (int i = 0 ; i<COUNT; i++) {
       printf("%d****%d\n",i,*(path+i));   //Yj在前 Xi在后
   }
}

void clearOnPathSign(GRAPH_MATCH *match){
   for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {
       match->on_path[j] = false;
   }
  
}
//dfs算法
bool FindAugPath(GRAPH_MATCH *match , int xi){
   for (int yj = 0 ; yj < COUNT; yj++) {
       if ( match->edge[xi][yj] == 1 && !match->on_path[yj]) { //如果yi和xi相连且yi没有在已经存在的增广路经上
            match->on_path[yj] = true;
           if (match->path[yj] == -1 || FindAugPath(match,match->path[yj])) { // 如果是yi是一个未覆盖点或者和yi相连的xk点能找到增广路经，
                 match->path[yj] = xi; //yj点加入路径;
                 return true;
           }
       }
   }
   return false;
}

void Hungary_match(GRAPH_MATCH *match){
   for (int xi = 0; xi<COUNT ; xi++) {
         FindAugPath(match, xi);
         clearOnPathSign(match);
   }
   outputRes(match->path);
}

int main() {
   
   GRAPH_MATCH *graph = (GRAPH_MATCH *)malloc(sizeof(GRAPH_MATCH));
   for (int i = 0 ; i < COUNT ; i++) {
       for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {
           graph->edge[i][j] = 0;
       }
   }
   graph->edge[0][1] = 1;
   graph->edge[0][0] = 1;
   graph->edge[1][1] = 1;
   graph->edge[1][2] = 1;
   graph->edge[2][1] = 1;
   graph->edge[2][0] = 1;
   graph->edge[3][2] = 1;
   
   for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {
       graph->path[j] = -1;
       graph->on_path[j] = false;
   }
   
   Hungary_match(graph);
   
   
}

至此，匹配相关的问题就介绍完了，希望上面的内容对大家有帮助。
原文链接：原文参考