学习笔记：二分图的判定与匹配

引入

二分图，可以分成两个子集，子集之间的每个点互不相连。

二分图判定

判定二分图通常使用染色法。
从每个没有被染色的点出发，将自己染为一种颜色，将相邻的点染为另一种颜色，若染色时发现对面的点已经染成和自己相同的颜色，那么它就不是二分图。
代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m,col[205];
int first[205],nex[405],to[405],tot;

inline void add(int x,int y)
{
	nex[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	nex[tot]=y;
}

inline bool dfs(int x,int c)
{
	col[x]=c;
	for(int i=first[x];i;i=nex[i])
	{
		int y=to[i];
		if(col[y]==c) return 0;
		if(col[y]==0 && dfs(y,-c)==0)
			return 0;
	}
	return 1;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(col[i]==0)
		{
			if(!dfs(i,1)) 
			{
				cout<<"No";
				return 0;
			}
		}
	}
	cout<<"Yes";
	return 0;
}

例题
传送门luoguP1525
对于本题，我们可以使用并查集+贪心解决，这里我们用二分答案+二分图判定解决。

当一个较小的冲突值满足题意时，那么比它大的冲突值必定满足，所以具有单调性，可以考虑二分。
判断条件即为若大于某个冲突值的数关到不同的牢房，看是否构成二分图。
代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+5;
int n,m,col[N];
bool p=1;
vector<int>a[N]; //由于多次操作，懒得写多个初始化:D 
struct node
{
	int x,y,w;
}e[N];

inline bool comp(node x,node y)
{
	return x.w<y.w;
}

inline void dfs(int x,int c)
{
	col[x]=c;
	for(int i=0;i<a[x].size();i++) //下标0开始 
	{
		int y=a[x][i];
		if(col[y]==0) dfs(y,-c);
		else if(col[y]==c) p=0;
	}
}

inline bool check(int x)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i].clear();
	for(int i=x+1;i<=m;i++) //将mid后面的冲突大的建立二分图 
	{
		a[e[i].x].push_back(e[i].y);
		a[e[i].y].push_back(e[i].x);
	}
	p=1;
	memset(col,0,sizeof(col));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(col[i]==0)
		{
			dfs(i,1);
			if(p==0) return 0;
		}
	return 1;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
	sort(e+1,e+m+1,comp);
	int l=0,r=m;
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	if(m==1) cout<<0; //特判 
	else cout<<e[l].w;
	return 0;
}

二分图匹配

这里介绍二分图的最大匹配，表示点到点的匹配数最大。
匈牙利算法原理：
我们使用数组used表示当前这一轮中，哪些点已经匹配过，即其他点找新的点时不能找该点，不管是哪个点匹配它，只会更新它所匹配的点，不会使它不被匹配；再用数组match表示谁和谁已经匹配，注意：这个匹配是可以更改的。
我们每次枚举一个子集中的点，去找是否可以匹配，若发现该点已经匹配，尝试更改该点的匹配，若更改不成功则匹配失败。时间复杂度O(nm)。

例题：
男女合作完成一项任务，给出女生想和哪些男生合作，给出男生女生的数量，求最大匹配数。
标准操作，代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=505;
int n,m,k;
int match[N];
bool used[N];
int first[N],nex[50005],to[50005],tot;

inline void add(int x,int y)
{
	nex[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}

inline bool dfs(int x)
{
	for(int i=first[x];i;i=nex[i])
	{
		int y=to[i];
		if(!used[y])//这一轮中没有用到
		{
			used[y]=1;
			if(match[y]==0 || dfs(match[y]))//若没匹配，或尝试更改匹配成功
			{
				match[y]=x;//y匹配x
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
	}
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(used,0,sizeof(used));
		if(dfs(i)) sum++;
	}
	cout<<sum;
	return 0;
}

模板例题传送门poj2536
只需枚举能在时间内回到洞的地鼠建一条边匹配即可。