三角函数及其变换

倒数

sinα*cscα=1

cosα*secα=1

tanα*cotα=1

商数

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

 

平方和

sin2α+cos2α=1

1+tan2α=sec2α

1+cot2α=csc2α

两角和

sin(α±β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ-+sinαsinβ

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1-+tanαtanβ)

倍角

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1

     =1-2sin2α

tan2α=2tanα/(1-tan2α)

半角

sin(α/2)=[(1-cosα)/2]^0.5

cos(α/2)=[(1+cosα)/2]^0.5

tan(α/2)

=[(1-cosα)/(1+cosα)]^0.5

和差

化积

sinαcosβ

=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ

=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

 

       

和差

化积

sinαsinβ

=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

cosαcosβ

=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

积化

和差

sinα+sinβ

=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ

=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化

和差

cosα+cosβ

=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ

=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

 
### 三角函数与傅里叶变换的关系 傅里叶变换的核心思想在于将复杂的信号分解为一系列简单的正弦波或余弦波的叠加。这一过程依赖于三角函数的基础性质及其在数学上的广泛应用。 #### 数学原理 1. **傅里叶级数** 傅里叶级数表明,任何周期性的函数 \( f(t) \) 都可以用一组正弦和余弦函数的加权组合来表示[^2]。具体表达式如下: \[ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\right] \] 其中,\( a_0, a_n, b_n \) 是通过积分计算得出的系数,分别代表直流分量以及不同频率下的幅值贡献[^1]。 2. **欧拉公式与指数形式** 利用欧拉公式 \( e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) \),上述傅里叶级数可以转换为更简洁的指数形式: \[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{jn\omega t} \] 这里的 \( c_n \) 表示对应频率分量的复振幅,进一步简化了分析复杂度。 3. **傅里叶变换** 对于非周期信号,则引入连续时间傅里叶变换 (CTFT),定义为: \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}\,dt \] 它描述了一个信号在整个频谱范围内的分布情况。对于实际工程应用而言,通常采用离散傅里叶变换(DFT)或者快速傅里叶变换(FFT)来进行数值计算[^3]。 #### 实现方法 - 使用 MATLAB 或 Python 等工具可方便地完成 FFT 的编程实现。以下是基于 Python 的简单例子: ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 创建测试信号 fs = 1000 # 采样率 Hz T = 1/fs # 时间间隔 t = np.arange(0, 1, T) # 时间向量 f = 5 # 输入信号频率 x = np.sin(2 * np.pi * f * t) # 计算 FFT 并绘制结果 N = len(x) X = np.fft.fft(x)/N # 归一化后的幅度谱 freqs = np.fft.fftfreq(N, d=T) plt.figure(figsize=(8,6)) plt.plot(freqs[:N//2], abs(X)[:N//2]*2, 'r') plt.title('Magnitude Spectrum') plt.xlabel('Frequency [Hz]') plt.ylabel('|Amplitude|') plt.grid() plt.show() ``` 此代码片段展示了如何生成一个正弦波并对其执行 FFT 来观察其频域特性。 ### 应用于信号处理中的意义 傅里叶变换能够揭示隐藏在原始数据背后的频率组成信息,在通信、图像压缩、音频编辑等多个领域发挥重要作用。例如,通过对语音信号做 FFT 分析可以帮助识别其中的不同音调;而在医学影像技术方面,借助该理论实现了 CT 扫描重建等功能。
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