开放型问题2

1.一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问?

答：另外一个会说哪条路是去往诚实国的？两人所指的都是去说谎国的路。

2.12个球一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球。13个呢?(注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)

答：

先取8个球，一边4个：
如果平了：
　　那么剩下的球中取3放左边,取3个好球放右边，称：
              如果左边重，那么取两个球称一下，哪个重哪个是次品，平的话第三个重，是次品，轻的话同理
　　      如果平了，那么剩下一个次品，还可根据需要称出次品比正品轻或者重
如果不平：
    那么不妨设左边重右边轻，为了便于说明，将左边4颗称为重球，右边4颗称为轻球，剩下4颗称为好球
    取重球2颗，轻球2颗放在左侧，右侧放3颗好球和一颗轻球
             如果左边重，称那两颗重球，重的一个次品，平的话右边轻球次品
             如果右边重，称左边两颗轻球，轻的一个次品
             如果平，称剩下两颗重球，重的一个次品，平的话剩下那颗轻球次品

3.在9个点上画10条直线，要求每条直线上至少有三个点?

答：3竖线，1横线，6斜线

O     O

    O

O O O

    O

O     O

4.怎么样种植4棵树木，使其中任意两棵树的距离相等?

答：在正四面体的四个顶点种树

5.你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的药丸的重量+1。只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了?

答：四个罐子中分别取1,2,3,4颗药丸，称出比正常重多少，即可判断出那个罐子的药被污染

6.门外三个开关分别对应室内三盏灯，线路良好，在门外控制开关时候不能看到室内灯的情况，现在只允许进门一次，确定开关和灯的对应关系?

答：开关1打开10分钟，然后关闭，开关2打开，然后进屋看：暗且热的为开关1控制，亮的为开关2控制，暗且凉的为开关3控制

7.人民币为什么只有1、2、5、10的面值?

答：因为可以用1，2，5，10组合成任何需要的货币值，日常习惯为10进制

8.给你两颗6面色子，可以在它们各个面上刻上0-9任意一个数字，要求能够用它们拼出任意一年中的日期数值

答：123456/789012

9. 一道关于飞机加油的问题，已知：
　　每个飞机只有一个油箱，
　　飞机之间可以相互加油(注意是相互，没有加油机)
　　一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈，
　　问题：

　　为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场，至少需要出动几架飞机?(所有飞机从同一机场起飞，而且必须安全返回机场，不允许中途降落，中间没有飞机场)

答：3架飞机5架次，飞法：
ABC 3架同时起飞，1/8处，C给AB加满油，C返航，1/4处，B给A加满油，B返航，A到达1/2处，C从机场往另一方向起飞，3/4处，C同已经空油箱的A平分剩余油量，同时B从机场起飞，AC到7/8处同B平分剩余油量，刚好3架飞机同时返航。所以是3架飞机5架次。

10. 汽车加油问题
　　一辆载油500升的汽车从A开往1000公里外的B，已知汽车每公里耗油量为1升，A处有无穷多的油，其他任何地点都没有油，但该车可以在任何地点存放油以备中转，问从A到B最少需要多少油
答：题目可归结为求数列 an=500/(2n+1) n=0,1,2,3......的和Sn什么时候大于等于1000,解得n>6
当n=6时，S6=977.57
所以第一个中转点离起始位置距离为1000-977.57=22.43公里
所以第一次中转之前共耗油 22.43*(2*7+1)=336.50升
此后每次中转耗油500升
所以总耗油量为7*500+336.50=3836.50升
11. 掷杯问题
　　一种杯子，若在第N层被摔破，则在任何比N高的楼层均会破，若在第M层不破，则在任何比M低的楼层均会破，给你两个这样的杯子，让你在100层高的楼层中测试，要求用最少的测试次数找出恰巧会使杯子破碎的楼层。
答：题目可归结为求自然数列的和S什么时候大于等于100，解得n>13
第一个杯子可能的投掷楼层分别为：14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100
12. 推理游戏
　　教授选出两个从2到9的数，把它们的和告诉学生甲，把它们的积告诉学生乙，让他们轮流猜这两个数
　　甲说：“我猜不出”
　　乙说：“我猜不出”
　　甲说：“我猜到了”
　　乙说：“我也猜到了”
　　问这两个数是多少

答：3和4(可严格证明)
设两个数为n1，n2，n1>=n2，甲听到的数为n=n1+n2，乙听到的数为m=n1*n2
证明n1=3，n2=4是唯一解
证明：要证以上命题为真，不妨先证n=7
1)必要性：
    i) n>5 是显然的，因为n<4不可能，n=4或者n=5甲都不可能回答不知道
　　ii) n>6 因为如果n=6的话，那么甲虽然不知道(不确定2+4还是3+3)但是无论是2，4还是3，3乙都不可能说不知道(m=8或者m=9的话乙说不知道是没有道理的)
　　iii) n<8 因为如果n>=8的话，就可以将n分解成 n=4+x 和 n=6+(x-2)，那么m可以是4x也可以是6(x-2)而4x=6(x-2)的必要条件是x=6即n=10，那样n又可以分解成8+2，所以总之当 n>=8时，n至少可以分解成两种不同的合数之和，这样乙说不知道的时候，甲就没有理由马上说知道。
以上证明了必要性
2)充分性
　　当n=7时，n可以分解成2+5或3+4
　　显然2+5不符合题意，舍去，容易判断出3+4符合题意，m=12，证毕
　　于是得到n=7 m=12 n1=3 n2=4是唯一解。

13. 病狗问题

　　一个住宅区内有100户人家，每户人家养一条狗，每天傍晚大家都在同一个地方遛狗。已知这些狗中有一部分病狗，由于某种原因，狗的主人无法判断自己的狗是否是病狗，却能够分辨其他的狗是否有病，现在，上级传来通知，要求住户处决这些病狗，并且不允许指认他人的狗是病狗(就是只能判断自己的)，过了7天之后，所有的病狗都被处决了，问，一共有几只病狗?为什么?

答：7只(数学归纳法证明)
　　1)若只有1只病狗，因为病狗主人看不到有其他病狗，必然会知道自己的狗是病狗(前提是一定存在病狗)，所以他会在第一天把病狗处决。
　　2)设有k只病狗的话，会在第k天被处决，那么，如果有k+1只，病狗的主人只会看到k只病狗，而第k天没有人处决病狗，病狗主人就会在第k+1天知道自己的狗是病狗，于是病狗在第k+1天被处决
　　3)由1)2)得，若有n只病狗，必然在第n天被处决

14. 监狱里有100个房间，每个房间内有一囚犯。一天，监狱长说，你们狱房外有一电灯，你们在放风时可以控制这个电灯(熄或亮)。每天只能有一个人出来放风，并且放风是随机的。如果在有限时间内，你们中的某人能对我说：“我敢保证，现在每个人都已经至少放过一次风了。”我就放了你们!问囚犯们要采取什么策略才能被监狱长放掉?如果采用了这种策略，大致多久他们可以被释放?

答：约定好一个人作为报告人(可以是第一个放风的人)
　　规则如下：
　　1、报告人放风的时候开灯并数开灯次数
　　2、其他人第一次遇到开着灯放风时，将灯关闭
　　3、当报告人第100次开灯的时候，去向监狱长报告，要求监狱长放人......
　　按照概率大约30年后(10000天)他们可以被释放