USACO Job Processing

USACO 4.2 job processing

题目链接：  http://www.nocow.cn/index.php/Translate:USACO/job

这题很经典，网上资料大多是一带而过，因此转载了一篇较详细的分析。

http://magicalcode.blogbus.com/logs/37193487.html

若有疑问的地方，可参照本文中引理的证明。

 

引理1：题目第一问，单个最优解的构造（即让最晚零件结束的时间最早）

每次把零件安排在延迟+加工时间最少的机器上。证明采取反证，安排过去一定得到另一个最优解。

 

引理2：

要证明一个性质，假设如下图所示的流程图是最优解，一定可以找到一个为两边各自为最优的情况。

1WWWWWWWAAAAAAA                BBBBBBBW

2WWWWAAAA                       BBBBBWWWWW

3WWWWWWWWWWWAAAAAAA             BBBB

4AAAAAAA             BBBBBBBWWWWWWWWW

 

这是由“最优”的性质决定的。“最优”意味着对任意N个产品，最晚的结束时间是最早的（引理1）。因此取 N=1，2…k,可以归纳证得任意第k个结束的产品，都比非最优方案结束的早。因此不会发生重叠现象。

这样把问题转化为了最优解的排列问题。

 

引理3：

对于两数组a[n],b[n], a[n]按升序排列，b[n]按降序排列，设数组c[i] = a[i] + b[i]，则将an和bn分别重新排列后，再次得到 d[i] =a`[i]+b`[i]，则 max(ci) <= max(di)，

假设不是按升降序排列,那么必然存在（小，小），（大，大）的组合，交换使其成为（小，大），（大，小），不会提高上限。这样交换一定次数可以成为升降序排列。

 

 

总结：

这题关键是平均贪心思想的运用。还有要想到把一个顺序加工的过程转化为从两边向中间加工。