Lattice paths and determinants

抄书笔记：格子路径和行列式.

我们考察行列式的一种表示法，让 $ M=(m_{i,j}) $   是一个  $ n\times n $  的实矩阵,
$$
\det M = \sum_\sigma \text{sign}~\sigma~m_{1\sigma(1)}m_{2\sigma(2)}\cdots m_{n\sigma(n)}, \tag{1}
$$
这里 $ \sigma $  跑遍  $ \{1,2,\cdots,n\} $ 上的所有排列 , 并且  $\sigma$ 的 sign 是 1 或 -1, 取决于 $ \sigma $ 是偶排列还是奇排列.

我们可以把它看成一张带权有向图, 让点 $ A_1,\cdots,A_n $ 表示 $ M $ 的行, $ B_1,\cdots,B_n $ 表示列. 对每一对 $ i,j $ 连一条从 $ A_i $ 到 $ B_j $ 的权值为 $ m_{i,j} $ 的边.


那么 (1) 可以被这么看：

- 左边表示路径矩阵 $ M $ 的行列式，其中 $ (i,j) $-格 是 $ A_i $ 到  $ B_j $ 的直接路径的权.

- 右边表示从 $ \mathcal A=\{A_1,\cdots,A_n \} $ 到 $ \mathcal B = \{B_1,\cdots, B_n\} $ 的有符号带权<u>顶点不相交路径系</u>. 这样一个路径系 $\mathcal P_\sigma$ 被路径
  $$
  A_1 \rightarrow B_{\sigma(1)}, \cdots, A_n \rightarrow B_{\sigma(n)},
  $$
  给出, 并且权是各个单独路径的积:
  $$
  w(\mathcal P_\sigma)=w(A_1\rightarrow B_{\sigma(1)}) \cdots w(A_n \rightarrow B_{\sigma(n)})
  $$

这样看来 (1) 就是
$$
\det M=\sum_\sigma \text{sign}~\sigma~w(\mathcal P_\sigma).
$$

准备一些概念.

在一张无环图中, 显然只有有限条从 $ A $ 到 $ B$ 有向路径, 这里平凡路径 $ A\rightarrow A $ 长度是 $ 0 $ . 每一条边 $ e $ 有一个权值 $ w(e) $ . 如果 $ P $ 是一条从 $ A $ 到 $ B $ 的有向路径, 简写为 $ P:A\rightarrow B $ , 我们定义 $ P $ 的权为
$$
w(P):=\prod_{e\in P}w(e)，
$$

特别地, $ w(P)=1 $, 当 $ P $ 长度为 0.

现在令 $ \mathcal A=\{A_1,\cdots,A_n\}, \mathcal B=\{B_1,\cdots,B_n\} $ 是两个 $ n $ 点点集, 这里要求 $ \mathcal {A,B} $ 不交. 把 $ \mathcal {A,B} $ 跟路径矩阵 $ M=(m_{ij}) $ 联系起来, 通过
$$
m_{i,j}:=\sum_{P:A_i\rightarrow B_j} w(P).
$$
一个从 $ \mathcal A $ 到 $ \mathcal B $ 的路径系 $ \mathcal P $ 包含一个排列 $ \sigma $ 和 $ n $ 条路径 $ P_i:A_i\rightarrow B_{\sigma(i)} $ 对 $ i=1,\cdots,n $ ; 我们写 $ \text{sign}~\mathcal P=\text{sign}~\sigma $ . $ \mathcal P $ 的权是路径权的积 
$$
w(\mathcal P)=\prod_{i=1}^n w(P_i), \tag{2}
$$
是路径系所有边的权的积.