[USACO24DEC] Deforestation S（包括正确性证明）

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原创 2025-08-29 15:47:32 701 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

5个4000比特大状态置换算法的设计与分析下面是 5 个概念性、实验性的 4000 位可逆置换设计。它们都保证是双射，但未经过密码分析，不可直接用于生产系统。风格分别覆盖：三维 SPN、Feistel、可逆元胞自动机、ARX、宽轨迹/Keccak 式结构。这 5 个设计分别代表了 SPN、Feistel、元胞自动机、ARX、宽轨迹 Keccak 五种不同风格，覆盖了主流大状态置换的构造思路。再次强调：它们只是实验性概念，若要用于实际协议，必须经过严格安全性分析。阅读详情

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更新日志

2025/8/29 修改了正确性证明，使其更加直观。

题目传送门

洛谷P11453

题目大意

有一条数轴，上面有一些树，坐标为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 。现在给你 $k$ 个限制，对于第 $i$ 个限制，要求 $l_i,r_i]$ 上必须至少有 $t_i$ 颗树。

部分分思路

首先排序 $a$ ，然后将限制按左端点排序。显然对于第 $i$ 个限制，保留右边的 $t_i$ 颗树是最不劣的 ~~直观理解无需证明~~。
那么，我们遍历这个限制列表，然后从右端点开始添加树。时间复杂度 $\text{O(NK)}$ 。
伪代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define all(x) x.begin(), x.end()
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 5;
int n, k;
void solve()
{
	cin >> n >> k;
	vector<int> a(n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> a[i];
	}
	sort(all(a));
	vector<CONSTRAINTS> constraint(k);
	
	vector<bool> planted(n, 0);
	int ans = 0;
	for (auto i: constraint) {
		int cnt = 0;
		for (int j = n; j; --j) {
			if (i.l <= a[j] && a[j] <= i.r && planted[j]) {
				++cnt;
			}
		}
		for (int j = n; j; --j) {
			if (cnt >= i.t) break;
			if (i.l <= a[j] && a[j] <= i.r && !planted[j]) {
				planted[j] = 1;
				++cnt;
				++ans;
			}
		}
	}
	cout << ans << '\n';
}
int main()
{
	// ios::sync_with_stdio(false);
	// cin.tie(nullptr);
	int T;
	cin >> T;
	while (T--) solve();
	return 0;
}

部分分优化（优先队列，满分）

考虑将树和约束放在一起考虑。
按约束的左端点 / 树的坐标为第一关键字排序，约束=0/树=1为第二关键字排序。
此外，对于一个约束，再多记录它的右端点和最大伐木数（区间 $l_i,r_i]$ 内树数量减去需要保留的数量）。

再维护一个优先队列 constraint ，记录对于某个约束 $i$ ，数轴上 $1,r_i]$ 里最优可以砍掉的树木数量，用一个 pair<int, int> 表示即可，比较函数为以 $r_i$ 为第一关键字（从小到大），最大树木砍伐数量（从小到大）为第二关键字进行排序。
同时，维护当前砍掉的树の数量ans。
每次若枚举到约束，则贪心地将约束区间内能砍的树数量全部砍掉并扔到 constraint 里，即 constraint.push({ans + cut_down, r});
若枚举到位置为 $x$ 的树，则首先检查优先队列里的约束，其中 $r < x$ 的，显然都不对目前及以后的任何树造成影响，因此可以直接 pop() 掉。在剩下的 constraint 里，若为空，则没有能对这棵树造成威胁的约束了，砍掉，++ans。否则若 constraint.top() 的最大伐木数量大于当前的 ans，即 ans < constraint.top().first ，同样 ++ans。

AC代码（不要走，后面有采但）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define all(x) x.begin(), x.end()
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 5;
int n, k;
void solve()
{
	cin >> n >> k;
	vector<int> a(n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> a[i];
	}
	sort(all(a));
	// l/coord
	// type: 0 constrant; 1 tree
	// r
	// maximum amount of tree that can be cut down
	vector<pair<pii, pii>> event;
	for (auto i: a) {
		event.push_back({{i, 1}, {0, 0}});
	}
	for (int i = 1; i <= k; ++i) {
		int l, r, t;
		cin >> l >> r >> t;
		event.push_back({{l, 0}, {r, upper_bound(all(a), r) - lower_bound(all(a), l) - t}});
	}
	sort(all(event));

	int ans = 0;

	// // 用优先队列记录最有约束性的约束
	// 记录对于当前枚举到的树的约束条件
	priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> constraint;
	for (auto i: event) {
		int type = i.first.second;
		if (type == 0) { // a constraint
			int l = i.first.first, r = i.second.first, t = i.second.second;
			// 显然当我们遇到一个限制时, 当前砍掉的树数量一定是[1,r]最优的
			constraint.push({ans + t, r});
		}
		else { // a tree
			int pos = i.first.first;
			while (constraint.size()) {
				if (constraint.top().second >= pos) break;
				constraint.pop();
			}
			ans += constraint.empty() || constraint.top().first > ans;
		}
	}
	cout << ans << '\n';
}
int main()
{
	// freopen("deforestation.in", "r", stdin);
	// freopen("deforestation.out", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int T;
	cin >> T;
	while (T--) solve();
	return 0;
}

正确性证明

如此微妙的思路，当然需要一篇详细的证明，不要像某谷题解，第一篇就有一个~~小天才~~大蒟蒻的我发了占总评论数75%的问询评论。（这只是道绿题啊，然后我看题解看了4h没看懂，一定是题解我的语文问题awa）
后来去看 USACO 官方题解，
还是
懵逼了awa
正文：
证：
一些显然的引理：
引理0：ans表示的是-1e9到截止目前最后一颗处理的树的坐标内最多砍树数（由其只在处理树时更新的计算方法可得）
引理1：处理一个区间时，ans所表示坐标必然小于目前区间左端点 $l$ （由初始化时的排序可得）
引理2：处理一颗树时，所有囊括其的区间必然全部按右端点从左到右在 constraint（下文简称 q）里（由初始化时的排序可得）