12、搜索树：原理、算法与性能分析

搜索树：原理、算法与性能分析

在数据存储和处理领域，树结构因其高效的数据访问能力而被广泛应用。搜索树作为一种特殊的树结构，能够以有序的方式存储数据，从而大大提高数据的搜索效率。本文将深入探讨多种搜索树的原理、算法和性能特点，包括多路搜索树、B 树、二叉搜索树和 AVL 树。

多路搜索树

多路搜索树是一种具有特定结构和性质的树，其递归定义如下：
- 一个 m 阶多路搜索树要么是空集，要么是一个对 (k, S)，其中第一个组件是 n - 1 个键的序列 k = (k1, k2, …, kn–1)，第二个组件是 n 个 m 阶多路搜索树的序列 S = (S0, S1, S2, …, Sn–1)，且满足 2 ≤ n ≤ m，以及对于每个 si ∈ Si，有 s0 < k1 < s1 < … < kn–1 < sn–1。

以一个 5 阶搜索树为例，它包含不同度数的内部节点，根节点有两个键和三个子节点。每个子节点及其子树中的键都遵循特定的大小关系，例如根节点的第一个子树中的所有键都小于 57，第二个子树中的所有键都在 57 和 72 之间，第三个子树中的所有键都大于 72。

搜索操作

在多路搜索树中搜索一个键值时，从根节点开始，沿着树向下遍历，直到找到该键或到达叶子节点。在每个节点上，使用二分搜索来查找该键。如果在当前节点中未找到该键，则根据键值的范围选择相应的子节点继续搜索。如果最终到达叶子节点仍未找到该键，则说明该键不在树中。

例如，要搜索键值 66，从根节点开始，由于 57 < 66 < 72，选择中间的链接进入中间的三键节点；接着，由于 60 < 66 <