11、二叉树：概念、性质与应用

二叉树：概念、性质与应用

1. 二叉树的定义

1.1 递归定义

二叉树要么是空集，要么是一个三元组 (T = (x, L, R))，其中 (x) 是一个节点，(L) 和 (R) 是不相交的二叉树，且都不包含 (x)。节点 (x) 被称为树 (T) 的根，子树 (L) 和 (R) 分别称为以 (x) 为根的左子树和右子树。

1.2 非递归定义

二叉树是一种有序树，其中每个内部节点的度为 2。在这个更简单的定义中，叶节点被视为虚拟节点，其唯一目的是定义树的结构。在实际应用中，内部节点保存数据，而叶节点可以是相同的空节点、单个空节点或空引用。

1.3 示例

图 11.3 展示了一个大小为 10、高度为 3 的二叉树。节点 (a) 是其根，从节点 (h) 到节点 (b) 的路径长度为 2。节点 (b) 在第 1 层，节点 (h) 在第 3 层，(b) 是 (h) 的祖先，(h) 是 (b) 的后代。阴影区域部分是一个大小为 6、高度为 2 的子树，其根是节点 (b)。

2. 二叉树的计数

2.1 不同大小的二叉树数量

• 大小为 3 的二叉树 ：有 5 种不同的二叉树，其中 4 种高度为 2，1 种高度为 1。
• 大小为 4 的二叉树 ：有 14 种不同的二叉树，其中 10 种高度为 3，4 种高度为 2。
• 大小为 5 的二叉树 ：通过递归定义计算，共有 42 种不同的二叉树。具体计