Hash查找中拉链法查找失败的平均探查次数1+a的证明

      在目前的教材中，一般没有给出具体证明，只给出O(1+a)的一个近似证明。

     

 

      我给出一个较为准确的证明，如下：

      在一个长度为N的查找表中，查找失败时，平均查找长度是N+1，即找到第N+1个位置（查找完毕）才确定查找失败了。

      拉链法同样如此，a表示N/M，即装载因子，也是每个entry的平均长度，而根据顺序查找表，不得出查找失败需要a+1。

 

      但是否可以量化的进行一下证明呢？

      首先，N个变量，M个entry，可以看做N个不同的球，放在M个不同的盒中，允许有空盒的情况。

      不难得出方案数为M^N,对于任意个变量，被hash到M^N*M种可能的entry中，那么平均情况下的查找次数呢？

 

      计算过程如下：

     

    

 

 

通过一个具体的例子可以得出这样求解的正确性：

假定有2个变量，分别为a，b，有4个entry（盒子），分别标记为1，2，3，4

则一共有16种可能的方案，如下：

11    21      31       41

12    22      32       42

13    23      33       43

14    24      34       44

其中11表示：a-1、b-1；21表示：a-2、b-1，余不举例。

 

不难得到，可能的entry共计4²*4=64种。

方案中entry为空的数目为：

同理：

entry有1个变量的数目为：24

entry有2个变量的数目为：4

则，一次查询失败的平均探查次数为（36*1+24*2+4*3）/64 = 1.5

同时1+n/m = 1.5