刷题笔记-错排问题总结-优快云博客

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刷题笔记-错排问题总结

一、什么是错排问题

举例：

十本不同的书放在书架，现重新摆放，使得每本书都不在原来的位置上，有几种摆法？
一个人给十个同学写信，但他把所有的信都装错了信封，问共有多少种错误的方式？

以上问题推广，就是错排问题。

一个n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的一个排列就称为原排列的一个错排。而研究一个排列的错排个数的问题，就称为错排问题（或称为更列问题）。**

二、错排公式
错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为Dn。研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

例如有{\displaystyle n}封写好了的信，收件人不同，胡乱放入{\displaystyle n}个写了地址的信封中，寄出，求没有一个收件人收到他所应接收的信的概率。当{\displaystyle n=4}，在4! = 24个排列之中，只有9个是错排：

BADC, BCDA, BDAC,
CADB, CDAB, CDBA,
DABC, DCAB, DCBA,
所以有关概率为9/24 = 37.5%

推导：

显然D1=0，D2=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑第n位的情况。

当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为Dn-2。
当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为Dn-1。
所以当n排在第k位时共有Dn-2+Dn-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：
n个元素的错排数记为D(n)
D(1)=0; D(2)=1;
D n=(n-1)(D n-1+D n-2)

三、错排公式的应用
（1）年会抽奖没人中奖的概率

//得出公式n人都不获奖的概率h(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)) / (n!)
#include<stdio.h>
int main()
{
	long long der[21] = { 0,0,1 }, fun[21] = { 0,1,2 };//fun用于计算阶乘
	//der数组用于存储n=i时的错排数
	int i, n;
	for (i = 3; i < 21; i++)
	{
		der[i] = (i - 1) * (der[i - 2] + der[i - 1]);
		fun[i] = i*fun[i - 1];
	}
	while (cin>>n))
	{
		printf("%.2f%c\n", 1.0*der[n] /fun[n] * 100, '%');
	}
	return 0;
}

（2）考新郎
题目大意：
有N对新婚夫妇，其中所有的新娘站成一列，都盖上了红布。然后让新郎去找新娘，每个新郎只能找一个新娘，而且不能一个对一个。问其中M个新郎找错新娘的情况有多少种。

思考过程：
这其实就是一个错排问题＋排列组合问题
首先要从N个新郎当中找出M个找错的。即C（N，M）。其次是对这M组新人进行错排，为D（M）。而且两者之间是乘法原则

错排和排列组合递推公式：

由于是第一次写排列组合这块的内容，写一下如何用递推公式求 C（N，M）和 D（M）。
（1）求C（N，M）。如果我们要从N个数当中抽出M个数，那么对于N个数当中的任何一个数来说，只有被抽到和没有被抽到两种情况。不妨设K，如果没有被抽到，则需要在剩下的 N - 1 个数当中抽 M 个。即C（N - 1，M）。如果K被抽到了，那么只需要在剩下的 N - 1 个数当中抽 M - 1 个。即C（N - 1， M - 1）
所以，C（N，M） = C（N - 1，M - 1） + C（N - 1，M）

（2）求D（N）。对于{1,2,3,……N} 这N个数，如果1在K的位置，K在1的位置，（由于K可以为剩下N - 1 个数当中任意一个，所以有N - 1 种选法）那么剩下的 N - 2 个数错排即可，为（N - 1）* D（N - 2）。如果K在1的位置，而1不在K的位置，那么把1当做K，相当于对N - 1 个数进行错排。为（N - 1）* D（N - 1）
所以，D（N）= （N - 1）* （D（N - 1）+ D（N - 2））

/*
    错排
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
typedef long long ll;
using namespace std;
int C[22][22];
ll D[22];
void init()
{
    for (int i = 0; i <=20; i++)
        C[i][0] = 1;
    C[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 20; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];

    D[1] = 0, D[2] = 1;
    for (ll i = 3; i <= 20; i++)
        D[i] = (i - 1) * (D[i - 1] + D[i - 2]);
}
int main ()
{
    init();
    int c, n ,m;
    cin>>c;
    while(c--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        ll sum;
        if (m * 2 > n) sum = C[n][n - m];
        else sum = C[n][m];
        sum *= D[m];
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}