87、平面细分：Delaunay三角剖分与Voronoi镶嵌

平面细分：Delaunay三角剖分与Voronoi镶嵌

1. Delaunay三角剖分与Voronoi镶嵌简介

Delaunay三角剖分是1934年发明的一种技术，用于将空间中的点连接成三角形组，使得三角剖分中所有角度的最小角度达到最大。这意味着在对这些点进行三角剖分时，Delaunay三角剖分会尽量避免出现狭长的三角形。其具有外接圆性质，即任何一个三角形顶点所构成的外接圆内不包含其他顶点。

为了提高计算效率，Delaunay算法会创建一个遥远的外部边界三角形，算法从这个三角形开始。计算Delaunay三角剖分有多种算法，其中一种较简单算法的步骤如下：
1. 添加外部三角形。
2. 添加一个内部点，然后搜索包含该点的所有三角形的外接圆，并移除这些三角剖分。
3. 重新对图进行三角剖分，将新点包含在刚刚移除的三角剖分的外接圆中。
4. 重复步骤2，直到没有更多的点需要添加。

该算法的复杂度为$O(n^2)$，而最好的算法平均复杂度可低至$O(n log log n)$。

Delaunay三角剖分有很多用途：
- 计算凸包 ：由于算法从一个虚拟的外部三角形开始，所有真实的外部点实际上都与虚拟三角形的一个（或两个）顶点相连。根据外接圆性质，计算机可以通过查看哪些点与三个外部虚拟顶点相连，直接找出构成点集外部的真实点，从而几乎可以立即找到点集的凸包。
- Voronoi镶嵌 ：通过Delaunay三角剖分，我们可以找出每个点周围“拥有”的空间，即哪些坐标是每个Delaunay顶点的最近邻。这种划分称为Voronoi镶嵌，它是Delau