58、卡尔曼滤波器：原理、应用与数学解析

卡尔曼滤波器：原理、应用与数学解析

1. 卡尔曼滤波器的基本假设

1.1 高斯分布假设

卡尔曼滤波器所处理的状态是高斯分布。例如在道路分叉的例子中，如果不知道汽车转向方向，卡尔曼滤波器就无法正常工作。因为高斯分布是单峰的，在道路分叉这种情况中，汽车可能向左或向右行驶，但高斯分布在给予左右两侧相同权重时，中间部分会有更大权重，这与实际情况不符。

1.2 先验分布假设

系统必须从一个可以用高斯分布描述的状态开始，这个状态被称为先验分布。我们可以使用非信息先验，即均值任意且协方差很大，表示我们对初始状态了解甚少。但重要的是，先验分布必须是高斯分布，并且我们必须提供一个。

1.3 理论构建的三个重要假设

• 线性系统假设 ：被建模的系统是线性的，系统在时刻 (k) 的状态可以表示为向量，时刻 (k + 1) 的状态等于时刻 (k) 的状态乘以某个矩阵 (F)。
• 白噪声假设 ：测量所受的噪声是“白噪声”，即系统中的噪声在时间上不相关。
• 高斯噪声假设 ：这种噪声本质上也是高斯分布的，其振幅可以仅用平均值和协方差准确建模。

虽然这些假设看似严格，但实际上适用于很多情况。

2. 最大化后验概率的含义

“在给定先前测量的情况下最大化后验概率”意味着在进行一次测量后，我们构建的新模型（同时考虑先前模型的不确定性和新测量的不确定性）是最有可能正确的模型。给定上述三个假设，卡尔曼滤波器是