28、小波变换与短时傅里叶变换的对比分析

小波变换与短时傅里叶变换的对比分析

1. 小波变换的一般形式

小波变换最一般的形式由下式给出：
[X(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\psi\left(\frac{t - b}{a}\right)dt]
其中 (a) 和 (b) 为实数。由于 (a) 和 (b) 是连续变量，所以这被称为连续小波变换（CWT），其变换域是二维域 ((a,b))。

当 (a) 和 (b) 取离散值 (a = c^{-k}) 和 (b = c^{-k}n)（(k) 和 (n) 为所有整数）时，这种受限形式被称为离散小波变换（DWT）。当 (c = 2)，即 (a = 2^{-k}) 和 (b = 2^{-k}n) 时，这就是之前讨论的小波变换，称为二进离散小波变换（dyadic DWT）。

对于固定的 (a)，上述积分是一个卷积。若将输入信号 (x(t)) 输入到一个冲激响应为 (\frac{\psi(-t/a)}{\sqrt{|a|}}) 的滤波器中，其在时间 (b) 处的输出即为 (X(a,b))。该滤波器的频率响应为 (\Psi(-a\omega))。若 (\psi(\omega)) 是一个中心频率为 (\omega_0) 的良好带通滤波器，那么上述滤波器是中心频率为 (-a^{-1}\omega_0) 的带通滤波器。即小波变换 (X(a,b)) 表示信号 (x(t)) 在时间 (b) 附近、频率 (-a^{-1}\omega_0) 附近的“频率成分”。在小波文献中，(|a|) 通常被称为“尺度”而非“逆频率”。

小波函数 (\psi(t)) 需满足 (\int\psi(t)dt =