55、道奇森和杨选举的参数化计算复杂性

道奇森和杨选举的参数化计算复杂性

在选举系统中，确定获胜者是一个核心问题。然而，由于可能不存在康多塞赢家（即能在两两对决中击败其他所有候选人的候选人），人们提出了多种选举系统来解决这一问题，其中道奇森（Dodgson）和杨（Young）选举系统备受关注。本文将深入探讨这两种选举系统相关计算问题的参数化计算复杂性。

基本概念

• 选举定义 ：一个选举用 $(V, C)$ 表示，其中 $V$ 是包含 $n$ 张选票的集合，$C$ 是包含 $m$ 位候选人的集合。每张选票是对候选人的偏好列表，即每个选民会对候选人进行偏好排序。例如，对于三位候选人 $a$、$b$、$c$，排序 $a < b < c$ 表示该选民最喜欢候选人 $c$，最不喜欢候选人 $a$。同时，也考虑选票中允许出现平局的情况，此时选票可能只是部分有序。
• 康多塞赢家 ：在选举 $(V, C)$ 中，如果候选人 $c$ 能在与其他所有候选人的两两对决中获胜，即对于每个 $d \in C \setminus {c}$，在至少 $\lfloor n/2 \rfloor + 1$ 张选票中 $c$ 比 $d$ 更受青睐，或者在有平局的情况下，$c$ 比 $d$ 更受青睐的选票数多于 $d$ 比 $c$ 更受青睐的选票数，那么 $c$ 就是康多塞赢家。需要注意的是，康多塞赢家并不总是存在。
• 关键问题定义
  • 道奇森得分问题 ：给定选举 $(V, C)$、一位特定候选人 $c \in C$ 以及一个整数 $