54、贪心生成器近二次时间计算与选举系统参数化复杂度分析

贪心生成器近二次时间计算与选举系统参数化复杂度分析

1. 贪心生成器计算

在计算贪心生成器时，我们主要关注算法的时间复杂度。以下是对相关算法的详细分析：
- 算法 3.1 时间复杂度 ：
- 算法 3.1 的第 1 - 11 行需要 $O(n^2 log n)$ 的时间。
- 第 12 行，如果 $E_0$ 的大小为 $\beta$，则需要 $O(\beta(m + n log n))$ 的时间，因为对于每一对点，都要执行一次最短路径查询。
- 对于每个区间，计算所有点对的最短路径（第 15 - 17 行）需要 $O(mn + n^2 log n)$ 的时间。根据引理 2，更新过程最多需要 $O(\frac{1}{(t - 1)^{O(\lambda)}} (mn + n^2 log n))$ 的时间。由于区间的数量为 $O(log(1/L))$，处理所有区间需要 $O(\frac{log(1/L)}{(t - 1)^{O(\lambda)}} (mn + n^2 log n))$ 的时间。
- 对于具有倍增维度 $\lambda$ 的度量空间，生成图的大小为 $O(\frac{n}{(t - 1)^{O(\lambda)}})$，算法 3.1 的总运行时间为 $O(\frac{\beta n + log(1/L)n^2 log n}{(t - 1)^{O(\lambda)}})$。
- 对于存在实数 $L$ 使得 $\frac{1}{L} = O(n^c)$（$c$ 为常数）且 $\beta = O(n log^2 n)$ 的点集 $V$，可以在 $O(n^2 log^2 n)$ 的时间内计算贪心生成器。

<