42、利用旋转将矩形装入 2OPT 个箱子

利用旋转将矩形装入 2OPT 个箱子

1. 引言

在矩形装箱问题中，给定一组宽度 $w_i \leq 1$ 且高度 $h_i \leq 1$ 的矩形列表 $I = {r_1, \ldots, r_n}$，有无限个单位大小的箱子可供使用，目标是将列表中的所有矩形无重叠且轴平行地装入箱子，同时最小化使用的箱子数量。该问题也被称为二维正交装箱问题，在库存切割或可分割资源调度等领域有诸多应用。在一些应用中，由于布料图案或木材纹理的原因，不允许旋转矩形；但在其他应用中，矩形可以旋转 90 度。

以往关于矩形装箱的研究大多集中在渐近近似比（即算法的长期性能）以及不允许旋转的装箱问题上。Caprara 首次提出了一种用于不允许旋转的矩形装箱的渐近近似比小于 2 的算法。最近，Bansal 等人提出了一个通用框架来改进子集无关算法，对于允许或不允许旋转的装箱问题，都获得了接近 1.525 的渐近近似保证。对于将正方形装入正方形箱子的问题，Bansal 等人给出了一个渐近 PTAS；同时，研究也表明不允许旋转的矩形装箱问题是 APX 困难的，除非 $P = NP$，否则不存在渐近 PTAS。

本文主要考虑绝对最坏情况比。获得良好的绝对最坏情况比比获得良好的渐近最坏情况比更具挑战性，因为在渐近情况下，算法可以浪费常数数量的箱子。Zhang 提出了一种不允许旋转的矩形装箱问题的绝对近似比为 3 的近似算法；对于正方形装箱的特殊情况，van Stee 证明了可以实现绝对 2 - 近似。

相关的二维装箱问题是条带装箱问题，即将物品装入单位宽度且高度无限的条带中，目标是最小化条带的高度。Steinberg 和 Schiermeyer 提出了不允许旋转的条带装箱的绝对 2 - 近似算法；Kenyo