41、拉多覆盖问题的新进展

拉多覆盖问题的新进展

1. 引言

拉多关于选择不相交正方形的问题是几何学中一个著名的未解难题：对于平面上任意有限的一组轴平行正方形集合 $S$，存在一个不相交的独立子集 $I \subseteq S$，使得 $I$ 的总面积至少是 $S$ 中所有正方形并集面积的 $c$ 倍，那么最小的 $c$ 值是多少呢？

T. Rado 在 1928 年猜想，对于任意有限的轴平行正方形集合，至少有 $\frac{1}{4}$ 的并集面积可以被一个不相交的子集覆盖。他还指出，贪心算法（反复选择与之前所选正方形不相交的最大正方形）能找到一个独立子集，其面积至少是 $S$ 中所有正方形并集面积的 $\frac{1}{9}$。后来，R. Rado 在 1949 年将这个下界提高到了 $\frac{1}{8.75}$，Zalgaller 在 1960 年进一步提高到了 $\frac{1}{8.6}$。而面积比的上界 $\frac{1}{4}$ 很容易得出，例如取四个共享一个公共顶点的单位正方形，那么只能选择其中一个。

不过，在 1973 年，Ajtai 提出了一个巧妙的构造，用几百个正方形推翻了 T. Rado 的猜想。同时，R. Rado 在他的三篇论文中，从更一般的角度考虑了不同类型凸集选择不相交正方形的问题。

为了更好地研究这个问题，我们引入一些定义：
- 用 $|C|$ 表示 $R^d$ 中凸集 $C$ 的勒贝格测度，在平面中就是面积，在三维空间中就是体积。
- 对于 $R^d$ 中有限的凸集集合 $S$，其并集体积（当 $d = 2$ 时为并集面积）定义为 $|S| = | \cup_{C\in S} C|$。
- 对于 $R^d$ 中的凸集