27、树的 L(2 - 1) 标签问题高效算法研究

树的 L(2 - 1) 标签问题高效算法研究

在图论领域，图的标签问题一直是一个重要的研究方向。其中，L(2 - 1) 标签问题在众多实际应用中有着广泛的需求，例如频道分配问题等。本文将深入探讨树的 L(2 - 1) 标签问题，并介绍几种高效的算法。

相关引理与概念

首先，我们有一些重要的引理。对于图 (G)，当 (\lambda(G) \leq \Delta - 1) 时，图 (G) 中的任何主要顶点必须标记为 0 或 (\Delta - 1)。这里有两个关键引理：
- 引理 1 ：如果 (\lambda(G) \leq \Delta - 1)，那么对于任意 (v \in V(G))，(N_G[v]) 最多包含两个主要顶点。
- 引理 2 ：对于任何树 (T)，(\lambda(T)) 要么是 (\Delta - 1)，要么是 (\Delta - 2)。

曾有人猜想确定 (\lambda(T)) 是 (\Delta - 1) 还是 (\Delta - 2) 是 NP 难问题，但 Chang 和 Kuo 提出了一个多项式时间算法来计算 (\lambda(T))，其运行时间为 (O(\Delta^{4.5}n))。由于树是最基本的图类之一，这为更一般的图类带来了一些肯定的结果，例如对于 p - 几乎树，(\lambda(G)) 可以在 (O(\Delta^{2p + 4.5}n)) 时间内计算。

线性时间算法

接下来，我们聚焦于树的 L(2 - 1) 标签问题。当 (\Delta = O(1)) 时，Chang 和 Kuo 的算法可以在线性时间