13、无线定位与节点成本预算问题的改进边界研究

无线定位与节点成本预算问题的改进边界研究

在计算几何和图优化领域，无线定位中的多边形守卫问题以及节点成本预算问题是重要的研究方向。下面将详细介绍相关问题的研究成果和方法。

多边形守卫问题

在多边形守卫问题中，目标是确定最少数量的守卫来覆盖整个多边形区域。研究人员通过对不同类型多边形的分析，得到了一系列关于守卫数量的上下界。

1. 上界分析

   • 对于任意简单多边形 (C)，通过对其顶点和边的分析，证明了 (\gamma(C) \leq \lfloor(4n - 1)/5\rfloor)，其中 (n) 是多边形的边数。具体分析过程如下：
     • 若存在 (C) 的顶点在 (\Delta’‘) 中，设 (v_i)（(4 \leq i \leq n - 1)）是 (\Delta’‘) 中距离 (\ell_3) 最远的 (C) 的顶点。
     • 当 (e_{i + 1}^-) 不与 (e_2) 相交时，(e_i^+) 也不与 (e_2) 相交，可在 (v_i) 处进行分割。
     • 当 (e_{i + 1}^-) 与 (e_2) 相交时，记其与 (e_1) 的交点为 (v’)，构造新的射线 (e_1^ ) 和线段或射线 (e_{i + 1}^ )。在 (v_1) 处放置自然顶点守卫 (g)，通过 (g \cap (G(C_1) \cup G(C_2))) 实现对 (C) 的守卫，其中 (C_1 = (e_3^-, \ldots, e_i^+))，(C_2 = (e_1^ , e_{i +