18、小波与多分辨率分析：原理、构造及应用

小波与多分辨率分析：原理、构造及应用

1. 引言

小波变换作为一种强大的信号处理工具，在众多领域展现出卓越的性能。多分辨率分析为小波基的构造提供了坚实的理论基础，使得我们能够系统地构建具有良好时频局部化特性的小波基。本文将深入探讨小波与多分辨率分析的相关概念、构造方法以及它们之间的紧密联系。

2. 小波构造基础

2.1 构造目标与方法

我们的目标是系统地构造紧支撑小波，以获得 $L^2$ 空间的正交基。构造基于两通道的准酉滤波器组，通过脉冲响应序列 $g_s(n)$ 和 $h_s(n)$ 得到小波函数 $\psi(t)$ 和辅助函数 $\varphi(t)$（即尺度函数）。具体通过时域递归方程实现：
[
\varphi(t) = 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} g_s(n) \varphi(2t - n)
]
[
\psi(t) = 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} h_s(n) \varphi(2t - n)
]
这两个方程被称为膨胀方程。在频域中，也有相应的表达式。若 ${G_s(z), H_s(z)}$ 是满足一定条件的准酉对，上述递归方程可解出 $\psi(t)$，进而得到 $L^2$ 空间的正交小波基 ${2^{k/2} \psi(2^k t - n)}$。

2.2 多分辨率分析的概念

多分辨率分析的核心思想是将信号分解到不同尺度的子空间中。以理想带通滤波器为例，假设滤波器是理想带通的，带通滤波器 $F_k(\omega) = 2^{-k/2} \omega(\omega / 2^k)