29、无损线路的解决方案与信号完整性匹配

无损线路的解决方案与信号完整性匹配

1. 无损线路的FDTD方法

1.1 基本原理与离散化

在分析无损线路时，FDTD（时域有限差分）方法是一种有效的工具。为确保每个 $\Delta z$ 段在源电压 $V_S(t)$ 和负载电压 $V_L(t)$ 的显著频谱分量下在电气上足够小，我们需要对线路进行离散化处理。将总线路长度 $L$ 划分为 $NDZ$ 个长度为 $\Delta z = \frac{L}{NDZ}$ 的段，同时将总仿真运行时间（最终求解时间）划分为 $NDT$ 个长度为 $\Delta t = \frac{最终求解时间}{NDT}$ 的间隔。

为保证解的稳定性，时间步长 $\Delta t$ 和空间离散化 $\Delta z$ 需满足Courant条件：
$NDT \geq NDZ \times v \times \frac{最终求解时间}{L}$

当取等号时，即 $\Delta t = \frac{\Delta z}{v}$ ，被称为“神奇时间步长”。此时，FDTD方法能给出传输线方程的精确解，无近似误差。

1.2 神奇时间步长的证明

为证明这一结果，我们利用线路的精确SPICE等效电路。以内部电流点为例，通过Branin方法进行推导。
首先，引入差分算子 $D^{\pm m}f(t) = f(t \pm m\tau)$ ，其中 $\tau = \frac{\Delta z}{v}$ 。从图中得到一系列电压和电流关系：
$V_k = Z_CI_A + D^{-1/2}(V_A - Z_CI_k)$
$V_A = -Z_CI_k + D^{-1/2}(V_k