8、时域与频域分析：原理、方法与应用

时域与频域分析：原理、方法与应用

1. 谐波分析基础

在信号处理中，对于数字信号的谐波分析是一项重要的工作。在某些情况下，为了简化结果，我们会将第三和第七谐波的负号留在幅值中，尽管从技术上来说幅值不应有符号。对于占空比为 50% 的波形，其偶数谐波为零，这是该类波形的一个重要特征。

当对谐波进行求和时，不同数量的谐波求和会得到不同的结果。例如，对前 10 个谐波求和，虽然在波形的拐角处会有小误差，但整体表示效果较好；而只对前 5 个谐波求和时，波形会出现明显的振铃现象，重建效果不佳。这也引出了数字信号带宽的一个常用准则：$BW = 0.5/τr$。

2. TDFD 变换方法求解传输线时域响应

TDFD（时域到频域）变换是一种简单而强大的求解方法，也可看作是“穷人版的逆快速傅里叶变换（FFT）”。其基本步骤如下：
1. 信号分解 ：将输入信号分解为正弦谐波分量。
2. 构建系统 ：将终端嵌入到一个单输入单输出的“黑盒”系统中。
3. 确定响应 ：通过相量法确定该系统在输入信号各谐波处的传递函数的正弦稳态响应。
4. 计算输出 ：将每个正弦分量通过系统，用相量法计算正弦响应，并在时域中求和，得到系统的时域输出。

不过，该方法有两个重要限制：
1. 系统线性 ：系统必须是线性的，因为使用了叠加原理。对于传输线来说，这意味着终端必须是线性的，否则整个系统将是非线性的。
2. 达到稳