13、算法复杂性与随机序列的统计性质

算法复杂性与随机序列的统计性质

1. 算法复杂性相关问题

1.1 马丁 - 勒夫随机序列与柯尔莫哥洛夫 - 洛夫兰随机序列的包含关系

存在一个问题，即马丁 - 勒夫随机序列集合是否真包含于柯尔莫哥洛夫 - 洛夫兰随机序列集合。柯尔莫哥洛夫曾声称存在一个柯尔莫哥洛夫 - 洛夫兰随机序列 ω，使得 (C(\omega_{1:n}) = O(\log n))，但 An.A. 穆奇尼克证明这是错误的，因为对于常数 (c < 1)，满足 (C(\omega_{1:n}) \leq cn + O(1)) 的序列 ω 不可能是柯尔莫哥洛夫 - 洛夫兰随机的。不过，这种包含关系是真包含，因为 A.K. 申证明了存在一个柯尔莫哥洛夫 - 洛夫兰随机序列，但它不是马丁 - 勒夫意义下的随机序列。

1.2 相关练习及解答思路

• 练习 2.5.1 ：
  • 题目 ：考虑在均匀测度下的 ({0, 1}^{\infty})，设 ω 是马丁 - 勒夫意义下的随机序列。
    • 证明对于每个 (n)，(\zeta = \omega_n\omega_{n + 1} \cdots) 是马丁 - 勒夫随机的。
    • 证明对于每个有限字符串 (x)，(\zeta = x\omega) 是马丁 - 勒夫随机的。
  • 解答思路 ：可参考 C. 卡卢德和 I. 基泰斯库的相关研究。