6.4 对称矩阵

一、对称矩阵的性质

可以毫不夸张的说，对称矩阵 $S$ 是世界上所能看到的最重要的矩阵 —— 不仅在线性代数理论也是在实际应用中。关于对称矩阵的关键问题，这个问题有两部分答案：$$当S是对称矩阵时，S\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}有什么特殊的？$$当 $S=S^T$ 时，我们寻找特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\mathbf{x}$ 的特殊性质。对角化 $S=X\Lambda X^{-1}$ 会反映出 $S$ 的对称性，我们取转置 $S^T=(X^{-1}{)}^T\Lambda X^T$，由于 $S=S^T$，所以这些是一样的。那么可以猜测第一种形式的 $X^{-1}$ 可能等于第二种形式中的 $X^T$，就会有 $X^{T}X=I$，此时 $X$ 中的每个特征向量和另外的特征向量正交。有以下两个事实：

1、对称矩阵只有实数特征值。
2、特征向量可以选成标准正交的向量。

这 $n$ 个标准正交的特征向量进到 $X$ 的列，则每个对称矩阵都可以对角化。对称矩阵的特征向量矩阵 $X$ 变成了一个正交矩阵 $Q$。正交矩阵有 $Q^{-1}=Q^T$，我们猜测的特征向量矩阵的性质是正确的。注意当我们选择标准正交的特征向量时，此时用 $Q$ 替代了 $X$。
为什么是说 “选择” 呢？这是因为特征向量并不一定是单位向量，我们可以处理它的长度，这里我们选择单位向量 —— 长度为一的特征向量，它们标准正交而不仅仅是正交向量。则 $A=X\Lambda X^{-1}$ 在对称矩阵这种特殊情况下有特殊形式 $S=Q\Lambda Q^{-1}$。

（Spectral Theorem 谱定理） 每个对称矩阵都可以分解成 $S=Q\Lambda Q^T$，$\Lambda$ 中是实数特征值，$Q$ 的列是标准正交的特征向量：$$对称对角化(\text{Symmetricdiagonalization})S=Q\Lambda Q^T，且Q^{-1}=Q^T(\mathrm{6.4.1})$$

很容易就可以看出 $Q\Lambda Q^T$ 是对称的，取转置，可以得到 $(Q^T{)}^T{\Lambda }^T{Q}^T$，也就是 $Q\Lambda Q^T$。比较困难的是要证明每个对称矩阵都是实数特征值 ${\lambda }^{\prime }s$ 和标准正交的特征向量 ${\mathbf{x}}^{\prime }s$。这就是数学上的 “谱定理” 和几何和物理上的 “主轴定理（principal axis theorem）”。下面要证明它！会用三步来说明：

1. 通过一个例子来展示 $\Lambda$ 中的实数特征值 ${\lambda }^{\prime }s$ 和 $Q$ 中的标准正交的特征向量 ${\mathbf{x}}^{\prime }s$.
2. 当没有重复的特征值时，证明这些事实。
3. 允许有重复的特征值时的证明。（本节的最后）

【例1】当 $S=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$ 和 $S-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 2& 4-\lambda \end{array}\right]$ 时，求 ${\lambda }^{\prime }s$ 和 ${\mathbf{x}}^{\prime }s$.
解： $S-\lambda I$ 的行列式是 ${\lambda }^2-5\lambda$，则特征值是 $0$ 和 $5$，它们都是实数。我们也可以直接看出特征值：由于 $S$ 是奇异的，所以 $\lambda =0$ 是一个特征值，由矩阵的迹可以得到 $\lambda =5$ 是另一个特征值：$0+5$ 等于 $1+4$.
两个特征向量是 $(2,-1)$ 和 $(1,2)$ —— 正交但还不是标准正交，$\lambda =0$ 时的特征向量在 $S$ 的零空间，$\lambda =5$ 时的特征向量在列空间。那么这里为什么零空间和列空间垂直呢？基本定理说的是零空间垂直于行空间 —— 不是列空间，但是我们的矩阵是对称的！它的行空间和列空间一样，它的特征向量 $(2,-1)$ 和 $(1,2)$ 也一定垂直，这里也确实是垂直的。
这两个特征向量的长度都是 $\sqrt{5}$，都除以 $\sqrt{5}$ 就得到了单位向量，将这些单位向量放进 $Q$ 的列中，则 $Q^{-1}SQ$ 就是 $\Lambda$，且 $Q^{-1}=Q^T$：$$Q^{-1}SQ=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 5\end{array}\right]=\Lambda$$现在讨论 $n\times n$ 的情况，当 $S=S^T$ 且 $S\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 时 ${\lambda }^{\prime }s$ 都是实数。

实数特征值 \kern 5pt实对称矩阵的所有特征值都是实数。

证明： 假设 $S\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，到目前为止我们知道，$\lambda$ 可能是一个复数 $a+ib$（$a$ 和 $b$）是实数，它的共轭复数是 $\bar{\lambda }=a-ib$，相似的，$\mathbf{x}$ 的分量也可能是复数，改变虚部的符号得到 $\bar{\mathbf{x}}$.
好事是 $\bar{\lambda }$ 乘 $\bar{\mathbf{x}}$ 总是 $\lambda$ 乘 $\mathbf{x}$ 的共轭，所以我们取 $S\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，记住 $S$ 是实数：$$S\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}得到S\bar{\mathbf{x}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}.转置得{\bar{\mathbf{x}}}^{T}S={\bar{\mathbf{x}}}^T\bar{\lambda }$$现在取第一个方程与 $\bar{\mathbf{x}}$ 的点积和最后一个方程与 $\mathbf{x}$ 的点积：$${\bar{\mathbf{x}}}^{T}S\mathbf{x}={\bar{\mathbf{x}}}^T\lambda \mathbf{x}和{\bar{\mathbf{x}}}^{T}S\mathbf{x}={\bar{\mathbf{x}}}^T\bar{\lambda }\mathbf{x}(\mathrm{6.4.2})$$左侧的是一样的，所以右侧相等，一个方程是 $\lambda$，另一个是 $\bar{\lambda }$. 乘积 ${\bar{\mathbf{x}}}^T\mathbf{x}=|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+\cdots =长度的平方$，这一项不为零。因此 $\lambda$ 一定等于 $\bar{\lambda }$，且 $a+ib$ 等于 $a-ib$，所以 $b=0$ 且 $\lambda =a=实数$。证毕！
特征向量是求解实数方程 $(S-\lambda I)\mathbf{x}=0$ 得到的，所以 ${\mathbf{x}}^{\prime }s$ 也是实数。重要的事实是它们是垂直的。

正交特征向量 \kern 5pt实对称矩阵的特征向量（对应于不同的 ${\lambda }^{\prime }s$）永远垂直。

证明： 假设 $S\mathbf{x}={\lambda }_1\mathbf{x}$，$S\mathbf{y}={\lambda }_2\mathbf{y}$，这里假设 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，第一个方程取与 $\mathbf{y}$ 的点积，第二个方程取与 $\mathbf{x}$ 的点积：$$使用S^T=S({\lambda }_1\mathbf{x}{)}^T\mathbf{y}=(S\mathbf{x}{)}^T\mathbf{y}={\mathbf{x}}^T{S}^T\mathbf{y}={\mathbf{x}}^{T}S\mathbf{y}={\mathbf{x}}^T{\lambda }_2\mathbf{y}(\mathrm{6.4.3})$$左边是 ${\mathbf{x}}^T{\lambda }_1\mathbf{y}$，右边是 ${\mathbf{x}}^T{\lambda }_2\mathbf{y}$，由于 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，所以有 ${\mathbf{x}}^T\mathbf{y}=0$，所以 ${\lambda }_1$ 对应的特征向量 $\mathbf{x}$ 垂直于 ${\lambda }_2$ 对应的特征向量 $\mathbf{y}$.

【例2】$2\times 2$ 对称矩阵的特征向量有一个特殊形式 ：$$不太广为人知的S=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]有{\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{c}b\\ {\lambda }_1-a\end{array}\right]和{\mathbf{x}}_2=\left[\begin{array}{c}{\lambda }_2-c\\ b\end{array}\right](\mathrm{6.4.4})$$这个重点是 ${\mathbf{x}}_1$ 和 ${\mathbf{x}}_2$ 垂直：$${\mathbf{x}}_1^T{\mathbf{x}}_2=b({\lambda }_2-c)+({\lambda }_1-a)b=b({\lambda }_1+{\lambda }_2-a-c)=0$$因为 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 等于迹 $a+c$，所以结果为零，则 ${\mathbf{x}}_1^T{\mathbf{x}}_2=0$。你可能会注意到特殊的情况 $S=I$，此时 $b、{\lambda }_1-a、{\lambda }_2-c$ 和 ${\mathbf{x}}_1、{\mathbf{x}}_2$ 都是零，这是因为 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ 是重复的特征值。当然 $S=I$ 也有垂直的特征向量。$$\boxed{\begin{array}{c}对称矩阵S有标准正交的特征向量矩阵Q.再看一下：\\ 对称S=X\Lambda X^{-1}变成S=Q\Lambda Q^T且Q^{T}Q=I\\ 这个说明任意的2\times 2矩阵是(旋转)(拉伸)(旋转回来)\\ S=Q\Lambda Q^T=\left[\begin{array}{cc}& \\ {\mathbf{q}}_1& {\mathbf{q}}_2\\ & \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \\ & {\lambda }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{q}}_1^T\\ \\ {\mathbf{q}}_2^T\end{array}\right](\mathrm{6.4.5})\\ 列{\mathbf{q}}_1和{\mathbf{q}}_2乘行{\lambda }_1{\mathbf{q}}_1^T和{\lambda }_2{\mathbf{q}}_2^T得到S={\lambda }_1{\mathbf{q}}_1{\mathbf{q}}_1^T+{\lambda }_2{\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_2^T\end{array}}$$

$每个对称矩阵S=Q\Lambda Q^T={\lambda }_1{\mathbf{q}}_1{\mathbf{q}}_1^T+{\lambda }_2{\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_2^T+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{q}}_n{\mathbf{q}}_n^T(\mathrm{6.4.6})$

这些伟大结果的步骤（谱定理）：

1. 将 $A{\mathbf{x}}_i={\lambda }_i{\mathbf{x}}_i$ 写成矩阵形式$AX=X\Lambda 或A=X\Lambda X^{-1}$
2. 标准正交 ${\mathbf{x}}_i={\mathbf{q}}_i$ 使得 $X=QS=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^T$

方程（6.4.6）中的 $Q\Lambda Q^T$ 的列是 $Q\Lambda$ 乘行 $Q^T$，下面是直接的证明：

$S有正确的特征向量，这些{\mathbf{q}}^{\prime }s标准正交S{\mathbf{q}}_i=({\lambda }_1{\mathbf{q}}_1{\mathbf{q}}_1^T+{\lambda }_2{\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_2^T+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{q}}_n{\mathbf{q}}_n^T){\mathbf{q}}_i={\lambda }_i{\mathbf{q}}_i(\mathrm{6.4.7})$

二、实数矩阵的复数特征值

对于任意的实数矩阵，由 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 得到 $A\bar{\mathbf{x}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}$，若是对称矩阵 $S\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 得到 $S\bar{\mathbf{x}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}$，$\lambda$ 和 $\mathbf{x}$ 都是实数，则这两个方程是一样的。但是非对称矩阵会很容易有复数的 $\lambda$ 和 $\mathbf{x}$，则 $A\bar{\mathbf{x}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}$ 就与 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 不再相同，我么得到了另一个复数特征值（就是 $\bar{\lambda }$）和一个新的特征向量（就是 $\bar{\mathbf{x}}$）：

$$\begin{gathered} 对于实数矩阵，复数{\lambda }^{\prime }s和{\mathbf{x}}^{\prime }s都是以“共轭对(\text{conjugatepairs})”形式出现的。 \\ \begin{array}{c}\lambda =a+ib\\ \bar{\lambda }=a-ib\end{array}如果A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}则A\bar{\mathbf{x}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}(\mathrm{6.4.8}) \end{gathered}$$

【例3】$A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ 的特征值是 ${\lambda }_1=\cos \theta +i\sin \theta$ 和 ${\lambda }_2=\cos \theta -i\sin \theta$.
这些特征值都是另一个的共轭，它们分别是 $\lambda$ 和 $\bar{\lambda }$，由于 $A$ 是实数矩阵，所以特征向量一定是 $\mathbf{x}$ 和 $\bar{\mathbf{x}}$：$$\begin{array}{ll}这是\lambda \mathbf{x}& A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=(\cos \theta +i\sin \theta )\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]\\ & \\ 这是\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}& A\bar{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]=(\cos \theta -i\sin \theta )\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]\end{array}(\mathrm{6.4.9})$$由于 $A$ 是实矩阵，所以这些特征向量 $(1,-i)$ 和 $(1,i)$ 是共轭复数。
这个旋转矩阵特征值的绝对值是 $|\lambda |=1$，因为 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$。事实上，每一个正交矩阵 $Q$ 都有特征值 $|\lambda |=1$.

三、特征值对比主元

$A$ 的特征值和主元是不一样的，对于特征值，我们是求解 $\det (A-\lambda I)=0$；对于主元，我们使用消元法。目前来说它们的唯一联系是：$$主元的乘积=行列式=特征值的乘积$$假设有一整套主元 $d_1,d_2,\cdots ,d_n$，$n$ 个实数特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，这些 $d^{\prime }s$ 和 ${\lambda }^{\prime }s$ 是不一样的，但是如果它们来自相同的对称矩阵，这些 $d^{\prime }s$ 和 ${\lambda }^{\prime }s$ 就有一个隐藏的关系。对称矩阵的主元和特征值有相同的符号：$$\begin{gathered} S=S^T正特征值的个数等于它正主元的个数。 \\ 特殊情况：S所有的{\lambda }_i>0当且仅当所有的主元都是正数。 \end{gathered}$$这种特殊情况就是正定矩阵（positive definite matrices） 最重要的事实。

【例4】下面这个对称矩阵有一个正特征值和正主元：$$符号匹配S=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right]\begin{array}{l}有主元1和-8\\ 特征值4和-2\end{array}$$主元的符号和特征值的符号是匹配的，一个正号一个负号。当矩阵不是对称矩阵时，这个结论可能是错误的：$$相反符号B=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ -1& -4\end{array}\right]\begin{array}{l}有主元1和2\\ 特征值-1和-2\end{array}$$$$下面是当S=S^T时，主元和特征值有相同符号的证明。$$当主元从 $U$ 的行使用除法提取出来时可以看的比较清晰，此时 $S$ 就是 $LD{L}^T$，对角主元矩阵 $D$ 在两个三角矩阵 $L$ 和 $L^T$ 之间：$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& \\ & -8\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right]这是S=LD{L}^T，它是对称的。 \\ 注意当L变换到I时，LD{L}^T的特征值。S变成了D。 \end{gathered}$$$LD{L}^T$ 的特征值是 $4$ 和 $-2$，$ID{I}^T$ 的特征值是 $1$ 和 $-8$（是主元！），随着 $L$ 中的 ${}^{\prime \prime }{3}^{\prime \prime }$ 变成零，特征值也在改变，但是要改变符号，实数特征值不得不经过零，则矩阵在此刻变成了奇异矩阵，但是当我们改变矩阵时主元一直是 $1$ 和 $-8$，所以它不可能奇异，则在 ${\lambda }^{\prime }s$ 变为 $d^{\prime }s$ 的过程中，符号不会改变。
对于任意的 $S=LD{L}^T$ 重复证明一下，通过将非对角矩阵的元素变成零，使得 $L$ 变为 $I$，在此过程中，主元不变也不为零，$LD{L}^T$ 的特征值 $\lambda$ 会变成 $ID{I}^T$ 的特征值。由于这些特征值在它们向主元的变化过程中不可能会经过零，所以符号不会改变。${\lambda }^{\prime }s$ 和 $d^{\prime }s$ 有相同的符号。
这个结论将应用线性代数中的两部分结合了起来 —— 主元和特征值。

四、所有对称矩阵都可对角化

当 $A$ 没有重复的特征值时，特征向量一定是无关的，此时 $A$ 可以对角化。但是如果有重复的特征值可能导致特征向量的不足，这种情况有时会在非对称矩阵身上发生，但是对称矩阵不存在这种情况。对于对称矩阵 $S=S^T$，总是存在足够的特征向量使得它可以对角化。
这是一个证明思路：使用对角矩阵 $\text{diag}(c,2c,\cdots ,nc)$ 稍微改变一下 $S$，即加上这个对角矩阵，如果 $c$ 很小时，则新的对称矩阵不会有重复的特征值，那么它会有一整套的标准正交的特征向量。当 $c\to 0$ 时，我们可以得到原始矩阵 $S$ 的 $n$ 个标准正交特征向量，即使 $S$ 有重复的特征值。
但是这个证明不太完整，在于如何确保小的对角矩阵可以使特征值分开呢？当然这个结论是正确的。
还有一个不同的证明，它来自于可应用于所有方阵 $A$ 的新的分解法，无论 $A$ 是否对称。当 $S$ 是任意的实矩阵时，这个新的分解法可以很快得到 $S=Q\Lambda Q^T$ 且有一整套实标准正交的特征向量。$$\begin{gathered} 任意方阵A都可以分解成QT{Q}^{-1}，这里T是上三角矩阵且有{\bar{Q}}^T=Q^{-1}. \\ 如果A有实数特征值，则Q和T可以选择成实数：Q^{T}Q=I. \end{gathered}$$这是舒尔定理（Schur’s Theorem）. 这里只证明为什么当 $S$ 对称时 $T$ 是对角矩阵（$T=\Lambda$），则 $S$ 是 $Q\Lambda Q^T$.
我们知道任意的对称矩阵 $S$ 有实数特征值，舒尔允许有重复的 ${\lambda }^{\prime }s$：
由舒尔的 $S=QT{Q}^{-1}$ 可以得到 $T=Q^{T}SQ$，转置后仍然是 $Q^{T}SQ$.
所以当 $S=S^T$ 时，三角矩阵 $T$ 是对称的，则 $T$ 一定是对角矩阵且 $T=\Lambda$.
这个证明了 $S=Q\Lambda Q^{-1}$，对称矩阵 $S$ 在 $Q$ 中有 $n$ 个标准正交特征向量。
注：这个还有其它的证明，利用奇异值。

五、主要内容总结

1. 每个对称矩阵 $S$ 都有实数特征值和相互垂直的特征向量。
2. 对角化变成了 $S=Q\Lambda Q^T$，其中 $Q$ 是一个正交特征向量矩阵。
3. 所有的对称矩阵都可以对角化，即使它有重复的特征值。
4. 当 $S=S^T$ 时，特征值和主元有相同的符号。
5. 每个方阵都可以 “三角化” 成 $A=QT{Q}^{-1}$，如果 $A=S$，则 $T=\Lambda$。

六、例题

【例5】什么样的矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda =1,-1$ 且特征向量 ${\mathbf{x}}_1=(\cos \theta ,\sin \theta )$，${\mathbf{x}}_2=(-\sin \theta ,\cos \theta )$ ？下面那些性质可以提前预测到 ？$$A=A^T{A}^2=I\det A=-1主元的符号是+和-A^{-1}=A$$解： 这些性质全都可以预测到！有实数特征值 $1,-1$ 和标准正交特征向量 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$，矩阵 $A=Q\Lambda Q^T$ 一定是对称的。由特征向量是 $1$ 和 $-1$，所以 ${\lambda }^2=1$， 则 ${\Lambda }^2=I$，可得 $A^2=I$ 和 $A^{-1}=A$（这两个是一回事），且 $\det A=-1$。由 $A$ 是对称矩阵可得，两个主元的符号一定和特征值一致，即一正一负。
这个矩阵是一个反射矩阵。$A$ 乘上 ${\mathbf{x}}_1$ 方向的向量不变，因为 $\lambda =1$；乘上垂直的 ${\mathbf{x}}_2$ 方向的向量会反向，因为 $\lambda =-1$。反射矩阵 $A=A\Lambda Q^T$ 横跨 $\theta -线$（$\theta -\text{line}$），用 $c$ 替代 $\cos \theta$，$s$ 替代 $\sin \theta$：$$A=\left[\begin{array}{cc}c& -s\\ s& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{c}^2-s^2& 2cs\\ 2cs& s^2-c^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\right]$$注意向量 $\mathbf{x}=(1,0)$ 得到 $A\mathbf{x}=(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$ 是在 $2\theta -线$ 上，而向量 $(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$ 会回到 $\theta -线$ 上得到 $\mathbf{x}=(1,0)$.

【例6】求 $A_3$ 和 $B_4$ （离散正弦和余弦）的特征值和特征向量。$$A_3=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]B_4=\left[\begin{array}{cccc}1& -1& & \\ -1& 2& -1& \\ & -1& 2& -1\\ & & -1& 1\end{array}\right]$$两个矩阵的 $-1,2,-1$ 模式是一个 “二阶差分”，就像二阶导数。$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 和 $B\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 就像 $d^{2}x/d{t}^2=\lambda x$，这些的特征向量 $x=\sin kt$ 和 $x=\cos kt$ 是傅里叶级数的基。
$A_n$ 和 $B_n$ 得到 “离散正弦” 和 “离散余弦”，这些是离散傅里叶变换（DFT：Discrete Fourier Transform）的基。DFT 是所有数字信号处理领域的绝对中心，图像处理中的 JPEG 最常使用的是大小为 $n=8$ 的 $B_8$.
解： $A_3$ 的特征值是 $\lambda =2-\sqrt{2}、2$ 和 $2+\sqrt{2}$，它们的和是 $6$（$A_3$ 的迹），积是 $4$（行列式），特征向量矩阵得到 “离散正弦变换”，特征向量落在正弦曲线上：$$\begin{array}{ll}正弦\text{Sines}=\left[\begin{array}{ccc}1& \sqrt{2}& 1\\ \sqrt{2}& 0& -\sqrt{2}\\ 1& -\sqrt{2}& 1\end{array}\right]& 余弦\text{Cosines}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& \sqrt{2}-1& -1& 1-\sqrt{2}\\ 1& 1-\sqrt{2}& -1& \sqrt{2}-1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right]\\ 正弦矩阵\text{Sinmatrix=}{A}_3的特征向量& 余弦矩阵\text{Cosinematrix=}{B}_4的特征向量\end{array}$$$B_4$ 的特征值是 $\lambda =2-\sqrt{2}、2、2+\sqrt{2}$ 和 $0$（与 $A_3$ 相同加上零特征值），迹仍然是 $6$，但是行列式是零了。特征向量矩阵得到 $4-点$ “离散傅里叶变换”，特征向量落在余弦曲线上。这些特征向量在余弦曲线上的点落在 $\pi /8,3\pi /8,5\pi /8,7\pi /8$ 处。