7.1 基本运算电路（2）_对不同的运算电路,运放各种非理想参数对运算误差的影响也不同。对于反相比例-优快云博客

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文章详细分析了集成运放的开环差模增益、差模输入电阻、共模抑制比、输入失调电压、失调电流及其温漂等因素如何影响运算电路的误差。对于反相比例运算电路，误差主要由开环差模增益和差模输入电阻引起，而同相比例运算电路则受共模抑制比的影响较大。失调电压和失调电流的温漂也会导致比例运算电路的误差，特别是在温度变化范围内。提高集成运放的性能参数和选择合适的外部元件可以减小运算误差。

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七、集成运放性能指标对运算误差的影响

在上述各电路运算关系的分析中，均认为集成运放为理想运放。而实际上，当利用运放构成运算电路时，由于开环差模增益 $A_{od}$ 、差模输入电阻 $r_{id}$ 和共模抑制比 $K_{CMR}$ 为有限值，且输入失调电压 $U_{IO}$ 、失调电流 $I_{IO}$ 以及它们的温漂 $dUIOdT\displaystyle\frac{\textrm dU_{IO}}{\textrm dT}$ 、 $dIIOdT\displaystyle\frac{\textrm dI_{IO}}{\textrm dT}$ 均不为零，必然造成误差。
对于任何运算电路，若元器件参数理想情况下输出电压为 $u'_O$ ，电路的实际输出电压为 $u_O$ ，则输出电压的绝对误差 $ΔuO=∣uO∣−∣uO′∣\Delta u_O=|u_O|-|u'_O|$ ，而相对误差为 $δ=ΔuOuO′×100%(7.1.28)\delta=\frac{\Delta u_O}{u'_O}\times100\%\kern 40pt(7.1.28)$

1、 $A_{od}$ 和 $r_{id}$ 为有限值时，对反相比例运算电路运算误差的影响

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考虑 $A_{od}$ 和 $r_{id}$ 为有限值时，反相比例运算电路的等效电路如图7.1.31所示。由于 $r_{id}>>R'$ ，可以认为 $uN≈−uId=−uOAod(7.1.29)u_N\approx-u_{Id}=-\frac{u_O}{A_{od}}\kern 40pt(7.1.29)$ 结点 $N\textrm N$ 的电流方程为 $i_R=i_F+i_I$ ，即 $uI−uNR=uN−uORf+uNrid+R′\frac{u_I-u_N}{R}=\frac{u_N-u_O}{R_f}+\frac{u_N}{r_{id}+R'}$ 将式（7.1.29）代入上式，并令 $R_N=R//R_f//(r_{id}+R')$ ，整理可得 $uO≈−RfR⋅AodRNRf+AodRN⋅uI(7.1.30)u_O\approx-\frac{R_f}{R}\cdot\frac{A_{od}R_N}{R_f+A_{od}R_N}\cdot u_I\kern 30pt(7.1.30)$ 理想运放时的输出电压 $uO′=−RfR⋅uI(7.1.31)u'_O=-\frac{R_f}{R}\cdot u_I\kern 80pt(7.1.31)$ 故相对误差 $δ≈−RfRf+AodRN×100%(7.1.32)\delta\approx-\frac{R_f}{R_f+A_{od}R_N}\times100\%\kern 30pt(7.1.32)$ 若 $kΩR=10\,\textrm kΩ$ ， $kΩR_f=100\,\textrm kΩ$ ， $R'=R//R_f$ ， $Aod=2×105A_{od}=2\times10^5$ ， $MΩr_{id}=2\,\textrm MΩ$ ，则 $δ≈−0.005%\delta\approx-0.005\%$ 。式（7.1.32）表明， $A_{od}$ 和 $r_{id}$ 愈大，相对误差的数值愈小。

2、 $A_{od}$ 和 $K_{CMR}$ 为有限值时，对同相比例运算电路运算误差的影响

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因为同相比例运算电路在输入差模信号的同时伴随着共模信号输入，因此共模抑制比称为影响运算误差的重要因素。图7.1.32所示为 $A_{od}$ 和 $K_{CMR}$ 为有限值时同相比例运算电路的等效电路。由于 $r_{id}$ 为无穷大， $i_I=0$ ，故 $R^{'}$ 上电压为零， $u_P=u_I$ 。输出电压是差模信号和共模信号两部分作用的结果，其中 $u_{Id}=u_P-u_N$ $uIc=uP+uN2u_{Ic}=\frac{u_P+u_N}{2}$ 输出电压的表达式为 $uO=Aod(uP−uN)+Ac⋅uP−uN2(7.1.33)u_O=A_{od}(u_P-u_N)+A_c\cdot \frac{u_P-u_N}{2}\kern 30pt(7.1.33)$ 因为 $u_P=u_I$ ， $uN=RR+Rf⋅uO=FuOu_N=\displaystyle\frac{R}{R+R_f}\cdot u_O=Fu_O$ ， $Ac=AodKCMRA_c=\displaystyle\frac{A_{od}}{K_{CMR}}$ ，所以 $uO=AoduI−AodFuO+AodKCMR⋅uI2+AodKCMR⋅FuO2u_O=A_{od}u_I-A_{od}Fu_O+\frac{A_{od}}{K_{CMR}}\cdot\frac{u_I}{2}+\frac{A_{od}}{K_{CMR}}\cdot\frac{Fu_O}{2}$ 整理可得 $uO=(1+RfR)⋅1+12KCMR1+1AodF−12KCMR⋅uI(7.1.34)u_O=\Big(1+\frac{R_f}{R}\Big)\cdot\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2K_{CMR}}}{1+\displaystyle\frac{1}{A_{od}F}-\frac{1}{2K_{CMR}}}\cdot u_I\kern 20pt(7.1.34)$ 理想运放情况下的输出电压 $uO′=(1+RfR)uI(7.1.35)u'_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)u_I\kern 60pt(7.1.35)$ 所以相对误差 $δ=(1+12KCMR1+1AodF−12KCMR−1)×100%(7.1.36)\delta=\Big(\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2K_{CMR}}}{1+\displaystyle\frac{1}{A_{od}F}-\frac{1}{2K_{CMR}}}-1\Big)\times100\%\kern 20pt(7.1.36)$ 若 $kΩR=10\,\textrm kΩ$ ， $kΩR_f=100\,\textrm kΩ$ ， $R'=R//R_f$ ， $Aod=2×105A_{od}=2\times10^5$ ， $K_{CMR}=10^4$ ，则 $δ≈0.01%\delta\approx0.01\%$ 。式（7.1.36）表明， $A_{od}$ 和 $K_{CMR}$ 愈大，相对误差的数值愈小。

3、失调电压 $U_{IO}$ 、失调电流 $I_{IO}$ 及其温漂 $dUIOdT\displaystyle\frac{\textrm dU_{IO}}{\textrm dT}$ 、 $dIIOdT\displaystyle\frac{\textrm dI_{IO}}{\textrm dT}$ 对比例运算电路运算误差的影响

考虑 $U_{IO}$ 和 $I_{IO}$ 的影响，比例运算电路的等效电路如图7.1.33所示。图中 $IB1=IIB+12⋅IIOI_{B1}=I_{IB}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot I_{IO}$ ， $IB2=IIB−12⋅IIOI_{B2}=I_{IB}-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot I_{IO}$ ，差模输入电压为零。因电路的两个输入端接地，故仅由失调因素产生输出电压 $u_O$ 。

在这里插入图片描述 $图7.1.33\,\,\,考虑\,U_{IO}\,和\,I_{IO}\,影响时，比例运算电路的等效电路$ 集成运放同相输入端电位 $uP=−(IIB−12⋅IIO)R′(7.1.37)u_P=-\big(I_{IB}-\frac{1}{2}\cdot I_{IO}\big)R'\kern 40pt(7.1.37)$ 由于 $U_{Id}=0$ ，所以两个电流源上的压降相等，故反相输入端电位 $uN=UIO−(IIB−12⋅IIO)R′(7.1.38)u_N=U_{IO}-\big(I_{IB}-\frac{1}{2}\cdot I_{IO}\big)R'\kern 22pt(7.1.38)$ $N\textrm N$ 点的电流方程 $uNR+IIB+12IIO=uO−uNRf\frac{u_N}{R}+I_{IB}+\frac{1}{2}I_{IO}=\frac{u_O-u_N}{R_f}$ 整理得出 $uN=RNRfuO−(IIB+12IIO)RN(7.1.39)u_N=\frac{R_N}{R_f}u_O-\big(I_{IB}+\frac{1}{2}I_{IO}\big)R_N\kern 20pt(7.1.39)$ 式中 $R_N=R//R_f$ 。根据式（7.1.38）和（7.1.39），可得输出电压 $uO=(1+RfR)[UIO+IIB(RN−R′)+12IIO(RN+R′)]u_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)[U_{IO}+I_{IB}(R_N-R')+\frac{1}{2}I_{IO}(R_N+R')]$ 当外接电阻 $R//R_f=R'$ 时， $uO=(1+RfR)(UIO+IIOR′)(7.1.40)u_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)(U_{IO}+I_{IO}R')\kern 35pt(7.1.40)$ 当 $R_N=R'$ 且只考虑失调温漂所产生的输出电压的变化时，有 $ΔuO=(1+RfR)(ΔUIO+ΔIIOR′)\Delta u_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)(\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R')$ $ΔUIO=dUIOdT⋅ΔTmax\Delta U_{IO}=\frac{\textrm dU_{IO}}{\textrm dT}\cdot\Delta T_{max}$ $ΔIIO=dIIOdT⋅ΔTmax\Delta I_{IO}=\frac{\textrm dI_{IO}}{\textrm dT}\cdot \Delta T_{max}$ 式中 $ΔTmax\Delta T_{max}$ 为温度变化的最大范围。
因为理想运放条件下，同相比例运算电路的输出电压 $uO′=(1+RfR)uIu'_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)u_I$ 所以失调温漂引起的相对误差的数值为 $∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=∣ΔUIO+ΔIIOR′uI∣×100%(7.1.41)|\delta|=\Big|\frac{\Delta u_O}{u'_O}\Big|=\Big|\frac{\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R'}{u_I}\Big|\times 100\%\kern 20pt(7.1.41)$ 因为理想运放条件下，反相比例运算电路的输出电压 $uO′=−RfR⋅uIu'_O=-\frac{R_f}{R}\cdot u_I$ 所以失调温漂引起的相对误差的数值为 $∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=(1+RRf)∣ΔUIO+ΔIIOR′uI∣×100%(7.1.42)|\delta|=\Big|\frac{\Delta u_O}{u'_O}\Big|=\Big(1+\frac{R}{R_f}\Big)\Big|\frac{\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R'}{u_I}\Big|\times100\%\kern 15pt(7.1.42)$ 式（7.1.41）和式（7.1.42）表明，在集成运放同相输入端和反相输入端外接总电阻相同的情况下，失调温漂愈小，输入电压幅值愈大，相对误差的数值愈小。

4、失调温漂对积分运算电路运算误差的影响

考虑 $U_{IO}$ 和 $I_{IO}$ 的影响，积分运算电路的等效电路如图7.1.34所示。当输入电压为零时，输出电压仅决定于失调因素。

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因为 $Vu_P=0\,\textrm V$ ，集成运放差模输入电阻为无穷大，电流源 $I_{IO}$ 上的电压可忽略不计，所以 $u_N=U_{IO}$ 。 $N\textrm N$ 点的电流方程为 $UIOR+IIO=iC\frac{U_{IO}}{R}+I_{IO}=i_C$ 输出电压 $uO=−1C∫(UIOR+IIO)dt(7.1.43)u_O=-\frac{1}{C}\int\Big(\frac{U_{IO}}{R}+I_{IO}\Big)\textrm dt\kern 30pt(7.1.43)$ 若仅考虑失调温漂，则输出电压的变化量 $ΔuO=−1C∫(ΔUIOR+ΔIIO)dt(7.1.44)\Delta u_O=-\frac{1}{C}\int\Big(\frac{\Delta U_{IO}}{R}+\Delta I_{IO}\Big)\textrm dt\kern 25pt(7.1.44)$ 因为在理想运放情况下的输出电压为 $uO′=−1C∫uIRdt(7.1.45)u'_O=-\frac{1}{C}\int\frac{u_I}{R}\textrm dt\kern 50pt(7.1.45)$ 所以因失调温漂所引起的相对误差的数值为 $∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=∣∫(ΔUIO+ΔIIOR)dt∫uIdt∣×100%(7.1.46)|\delta|=\Big|\frac{\Delta u_O}{u'_O}\Big|=\Big|\frac{\int(\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R)\textrm dt}{\int u_I \textrm dt}\Big|\times100\%\kern 20pt(7.1.46)$ 可见，失调温漂愈大， $R$ 愈大， $u_I$ 愈小，相对误差愈大。
应当指出，运算电路的运算误差不仅来源于集成运放非理想的指标参数，还决定于其它元器件的精度及电源电压的稳定性等。因此，为了提高运算精度，除了应选择高质量的集成运放外，还应合理选择其它元器件，提高电源电压的稳定性，减小环境温度的变化，抑制干扰和噪声，精心设计电路板等。