七、集成运放性能指标对运算误差的影响
在上述各电路运算关系的分析中,均认为集成运放为理想运放。而实际上,当利用运放构成运算电路时,由于开环差模增益 AodA_{od}Aod、差模输入电阻 ridr_{id}rid 和共模抑制比 KCMRK_{CMR}KCMR 为有限值,且输入失调电压 UIOU_{IO}UIO、失调电流 IIOI_{IO}IIO 以及它们的温漂 dUIOdT\displaystyle\frac{\textrm dU_{IO}}{\textrm dT}dTdUIO、dIIOdT\displaystyle\frac{\textrm dI_{IO}}{\textrm dT}dTdIIO 均不为零,必然造成误差。
对于任何运算电路,若元器件参数理想情况下输出电压为 uO′u'_OuO′,电路的实际输出电压为 uOu_OuO,则输出电压的绝对误差 ΔuO=∣uO∣−∣uO′∣\Delta u_O=|u_O|-|u'_O|ΔuO=∣uO∣−∣uO′∣,而相对误差为δ=ΔuOuO′×100%(7.1.28)\delta=\frac{\Delta u_O}{u'_O}\times100\%\kern 40pt(7.1.28)δ=uO′ΔuO×100%(7.1.28)
1、AodA_{od}Aod 和 ridr_{id}rid 为有限值时,对反相比例运算电路运算误差的影响
考虑 AodA_{od}Aod 和 ridr_{id}rid 为有限值时,反相比例运算电路的等效电路如图7.1.31所示。由于 rid>>R′r_{id}>>R'rid>>R′,可以认为uN≈−uId=−uOAod(7.1.29)u_N\approx-u_{Id}=-\frac{u_O}{A_{od}}\kern 40pt(7.1.29)uN≈−uId=−AoduO(7.1.29)结点 N\textrm NN 的电流方程为 iR=iF+iIi_R=i_F+i_IiR=iF+iI,即uI−uNR=uN−uORf+uNrid+R′\frac{u_I-u_N}{R}=\frac{u_N-u_O}{R_f}+\frac{u_N}{r_{id}+R'}RuI−uN=RfuN−uO+rid+R′uN将式(7.1.29)代入上式,并令 RN=R//Rf//(rid+R′)R_N=R//R_f//(r_{id}+R')RN=R//Rf//(rid+R′),整理可得uO≈−RfR⋅AodRNRf+AodRN⋅uI(7.1.30)u_O\approx-\frac{R_f}{R}\cdot\frac{A_{od}R_N}{R_f+A_{od}R_N}\cdot u_I\kern 30pt(7.1.30)uO≈−RRf⋅Rf+AodRNAodRN⋅uI(7.1.30)理想运放时的输出电压uO′=−RfR⋅uI(7.1.31)u'_O=-\frac{R_f}{R}\cdot u_I\kern 80pt(7.1.31)uO′=−RRf⋅uI(7.1.31)故相对误差δ≈−RfRf+AodRN×100%(7.1.32)\delta\approx-\frac{R_f}{R_f+A_{od}R_N}\times100\%\kern 30pt(7.1.32)δ≈−Rf+AodRNRf×100%(7.1.32)若 R=10 kΩR=10\,\textrm kΩR=10kΩ,Rf=100 kΩR_f=100\,\textrm kΩRf=100kΩ,R′=R//RfR'=R//R_fR′=R//Rf,Aod=2×105A_{od}=2\times10^5Aod=2×105,rid=2 MΩr_{id}=2\,\textrm MΩrid=2MΩ,则 δ≈−0.005%\delta\approx-0.005\%δ≈−0.005%。式(7.1.32)表明,AodA_{od}Aod 和 ridr_{id}rid 愈大,相对误差的数值愈小。
2、AodA_{od}Aod 和 KCMRK_{CMR}KCMR 为有限值时,对同相比例运算电路运算误差的影响
因为同相比例运算电路在输入差模信号的同时伴随着共模信号输入,因此共模抑制比称为影响运算误差的重要因素。图7.1.32所示为 AodA_{od}Aod 和 KCMRK_{CMR}KCMR 为有限值时同相比例运算电路的等效电路。由于 ridr_{id}rid 为无穷大,iI=0i_I=0iI=0,故 R′R'R′ 上电压为零,uP=uIu_P=u_IuP=uI。输出电压是差模信号和共模信号两部分作用的结果,其中uId=uP−uNu_{Id}=u_P-u_NuId=uP−uNuIc=uP+uN2u_{Ic}=\frac{u_P+u_N}{2}uIc=2uP+uN输出电压的表达式为uO=Aod(uP−uN)+Ac⋅uP−uN2(7.1.33)u_O=A_{od}(u_P-u_N)+A_c\cdot \frac{u_P-u_N}{2}\kern 30pt(7.1.33)uO=Aod(uP−uN)+Ac⋅2uP−uN(7.1.33)因为 uP=uIu_P=u_IuP=uI,uN=RR+Rf⋅uO=FuOu_N=\displaystyle\frac{R}{R+R_f}\cdot u_O=Fu_OuN=R+RfR⋅uO=FuO,Ac=AodKCMRA_c=\displaystyle\frac{A_{od}}{K_{CMR}}Ac=KCMRAod,所以uO=AoduI−AodFuO+AodKCMR⋅uI2+AodKCMR⋅FuO2u_O=A_{od}u_I-A_{od}Fu_O+\frac{A_{od}}{K_{CMR}}\cdot\frac{u_I}{2}+\frac{A_{od}}{K_{CMR}}\cdot\frac{Fu_O}{2}uO=AoduI−AodFuO+KCMRAod⋅2uI+KCMRAod⋅2FuO整理可得uO=(1+RfR)⋅1+12KCMR1+1AodF−12KCMR⋅uI(7.1.34)u_O=\Big(1+\frac{R_f}{R}\Big)\cdot\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2K_{CMR}}}{1+\displaystyle\frac{1}{A_{od}F}-\frac{1}{2K_{CMR}}}\cdot u_I\kern 20pt(7.1.34)uO=(1+RRf)⋅1+AodF1−2KCMR11+2KCMR1⋅uI(7.1.34)理想运放情况下的输出电压uO′=(1+RfR)uI(7.1.35)u'_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)u_I\kern 60pt(7.1.35)uO′=(1+RRf)uI(7.1.35)所以相对误差δ=(1+12KCMR1+1AodF−12KCMR−1)×100%(7.1.36)\delta=\Big(\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2K_{CMR}}}{1+\displaystyle\frac{1}{A_{od}F}-\frac{1}{2K_{CMR}}}-1\Big)\times100\%\kern 20pt(7.1.36)δ=(1+AodF1−2KCMR11+2KCMR1−1)×100%(7.1.36)若 R=10 kΩR=10\,\textrm kΩR=10kΩ,Rf=100 kΩR_f=100\,\textrm kΩRf=100kΩ,R′=R//RfR'=R//R_fR′=R//Rf,Aod=2×105A_{od}=2\times10^5Aod=2×105,KCMR=104K_{CMR}=10^4KCMR=104,则 δ≈0.01%\delta\approx0.01\%δ≈0.01%。式(7.1.36)表明,AodA_{od}Aod 和 KCMRK_{CMR}KCMR 愈大,相对误差的数值愈小。
3、失调电压 UIOU_{IO}UIO、失调电流 IIOI_{IO}IIO 及其温漂 dUIOdT\displaystyle\frac{\textrm dU_{IO}}{\textrm dT}dTdUIO、dIIOdT\displaystyle\frac{\textrm dI_{IO}}{\textrm dT}dTdIIO 对比例运算电路运算误差的影响
考虑 UIOU_{IO}UIO 和 IIOI_{IO}IIO 的影响,比例运算电路的等效电路如图7.1.33所示。图中 IB1=IIB+12⋅IIOI_{B1}=I_{IB}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot I_{IO}IB1=IIB+21⋅IIO,IB2=IIB−12⋅IIOI_{B2}=I_{IB}-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot I_{IO}IB2=IIB−21⋅IIO,差模输入电压为零。因电路的两个输入端接地,故仅由失调因素产生输出电压 uOu_OuO。
图7.1.33 考虑 UIO 和 IIO 影响时,比例运算电路的等效电路图7.1.33\,\,\,考虑\,U_{IO}\,和\,I_{IO}\,影响时,比例运算电路的等效电路图7.1.33考虑UIO和IIO影响时,比例运算电路的等效电路集成运放同相输入端电位uP=−(IIB−12⋅IIO)R′(7.1.37)u_P=-\big(I_{IB}-\frac{1}{2}\cdot I_{IO}\big)R'\kern 40pt(7.1.37)uP=−(IIB−21⋅IIO)R′(7.1.37)由于 UId=0U_{Id}=0UId=0,所以两个电流源上的压降相等,故反相输入端电位uN=UIO−(IIB−12⋅IIO)R′(7.1.38)u_N=U_{IO}-\big(I_{IB}-\frac{1}{2}\cdot I_{IO}\big)R'\kern 22pt(7.1.38)uN=UIO−(IIB−21⋅IIO)R′(7.1.38)N\textrm NN 点的电流方程uNR+IIB+12IIO=uO−uNRf\frac{u_N}{R}+I_{IB}+\frac{1}{2}I_{IO}=\frac{u_O-u_N}{R_f}RuN+IIB+21IIO=RfuO−uN整理得出uN=RNRfuO−(IIB+12IIO)RN(7.1.39)u_N=\frac{R_N}{R_f}u_O-\big(I_{IB}+\frac{1}{2}I_{IO}\big)R_N\kern 20pt(7.1.39)uN=RfRNuO−(IIB+21IIO)RN(7.1.39)式中 RN=R//RfR_N=R//R_fRN=R//Rf。根据式(7.1.38)和(7.1.39),可得输出电压uO=(1+RfR)[UIO+IIB(RN−R′)+12IIO(RN+R′)]u_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)[U_{IO}+I_{IB}(R_N-R')+\frac{1}{2}I_{IO}(R_N+R')]uO=(1+RRf)[UIO+IIB(RN−R′)+21IIO(RN+R′)]当外接电阻 R//Rf=R′R//R_f=R'R//Rf=R′ 时,uO=(1+RfR)(UIO+IIOR′)(7.1.40)u_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)(U_{IO}+I_{IO}R')\kern 35pt(7.1.40)uO=(1+RRf)(UIO+IIOR′)(7.1.40)当 RN=R′R_N=R'RN=R′ 且只考虑失调温漂所产生的输出电压的变化时,有ΔuO=(1+RfR)(ΔUIO+ΔIIOR′)\Delta u_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)(\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R')ΔuO=(1+RRf)(ΔUIO+ΔIIOR′)ΔUIO=dUIOdT⋅ΔTmax\Delta U_{IO}=\frac{\textrm dU_{IO}}{\textrm dT}\cdot\Delta T_{max}ΔUIO=dTdUIO⋅ΔTmaxΔIIO=dIIOdT⋅ΔTmax\Delta I_{IO}=\frac{\textrm dI_{IO}}{\textrm dT}\cdot \Delta T_{max}ΔIIO=dTdIIO⋅ΔTmax式中 ΔTmax\Delta T_{max}ΔTmax 为温度变化的最大范围。
因为理想运放条件下,同相比例运算电路的输出电压uO′=(1+RfR)uIu'_O=\big(1+\frac{R_f}{R}\big)u_IuO′=(1+RRf)uI所以失调温漂引起的相对误差的数值为∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=∣ΔUIO+ΔIIOR′uI∣×100%(7.1.41)|\delta|=\Big|\frac{\Delta u_O}{u'_O}\Big|=\Big|\frac{\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R'}{u_I}\Big|\times 100\%\kern 20pt(7.1.41)∣δ∣=uO′ΔuO=uIΔUIO+ΔIIOR′×100%(7.1.41)因为理想运放条件下,反相比例运算电路的输出电压uO′=−RfR⋅uIu'_O=-\frac{R_f}{R}\cdot u_IuO′=−RRf⋅uI所以失调温漂引起的相对误差的数值为∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=(1+RRf)∣ΔUIO+ΔIIOR′uI∣×100%(7.1.42)|\delta|=\Big|\frac{\Delta u_O}{u'_O}\Big|=\Big(1+\frac{R}{R_f}\Big)\Big|\frac{\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R'}{u_I}\Big|\times100\%\kern 15pt(7.1.42)∣δ∣=uO′ΔuO=(1+RfR)uIΔUIO+ΔIIOR′×100%(7.1.42)式(7.1.41)和式(7.1.42)表明,在集成运放同相输入端和反相输入端外接总电阻相同的情况下,失调温漂愈小,输入电压幅值愈大,相对误差的数值愈小。
4、失调温漂对积分运算电路运算误差的影响
考虑 UIOU_{IO}UIO 和 IIOI_{IO}IIO 的影响,积分运算电路的等效电路如图7.1.34所示。当输入电压为零时,输出电压仅决定于失调因素。
因为 uP=0 Vu_P=0\,\textrm VuP=0V,集成运放差模输入电阻为无穷大,电流源 IIOI_{IO}IIO 上的电压可忽略不计,所以 uN=UIOu_N=U_{IO}uN=UIO。N\textrm NN 点的电流方程为UIOR+IIO=iC\frac{U_{IO}}{R}+I_{IO}=i_CRUIO+IIO=iC输出电压uO=−1C∫(UIOR+IIO)dt(7.1.43)u_O=-\frac{1}{C}\int\Big(\frac{U_{IO}}{R}+I_{IO}\Big)\textrm dt\kern 30pt(7.1.43)uO=−C1∫(RUIO+IIO)dt(7.1.43)若仅考虑失调温漂,则输出电压的变化量ΔuO=−1C∫(ΔUIOR+ΔIIO)dt(7.1.44)\Delta u_O=-\frac{1}{C}\int\Big(\frac{\Delta U_{IO}}{R}+\Delta I_{IO}\Big)\textrm dt\kern 25pt(7.1.44)ΔuO=−C1∫(RΔUIO+ΔIIO)dt(7.1.44)因为在理想运放情况下的输出电压为uO′=−1C∫uIRdt(7.1.45)u'_O=-\frac{1}{C}\int\frac{u_I}{R}\textrm dt\kern 50pt(7.1.45)uO′=−C1∫RuIdt(7.1.45)所以因失调温漂所引起的相对误差的数值为∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=∣∫(ΔUIO+ΔIIOR)dt∫uIdt∣×100%(7.1.46)|\delta|=\Big|\frac{\Delta u_O}{u'_O}\Big|=\Big|\frac{\int(\Delta U_{IO}+\Delta I_{IO}R)\textrm dt}{\int u_I \textrm dt}\Big|\times100\%\kern 20pt(7.1.46)∣δ∣=uO′ΔuO=∫uIdt∫(ΔUIO+ΔIIOR)dt×100%(7.1.46)可见,失调温漂愈大,RRR 愈大,uIu_IuI 愈小,相对误差愈大。
应当指出,运算电路的运算误差不仅来源于集成运放非理想的指标参数,还决定于其它元器件的精度及电源电压的稳定性等。因此,为了提高运算精度,除了应选择高质量的集成运放外,还应合理选择其它元器件,提高电源电压的稳定性,减小环境温度的变化,抑制干扰和噪声,精心设计电路板等。