动态规划笔记

思路

动态规划是将问题划分为互不相交的子问题，递归求解子问题，最后合并子问题的解，从而得到原问题的解。把一个复杂的问题分阶段进行简化，逐步化简成简单的问题。大事化小，小事化了。

动态规划法，它对每个子子问题只求解一次，将子问题结果保存在一个表格中，从而避免了不必要的子问题重新计算的工作。是用空间来换时间，获得的效益是很可观的。

动态规划需要经过繁琐的计算，子问题的解一旦被计算出来，就要存储起来，不要重复计算，如果你忘了这一点，你的代码将会是服务器的灾难。

通常，动态规划法用来求解最优化问题（optimization problem），如，

斐波那契数列求值问题，
钢条切割问题，
0-1背包问题，
矩阵链乘法问题，
最长公共子序列（LCS）问题，
最优二叉搜索树问题等。

大多数动态规划问题都能被归类成两种类型：

1、优化问题；2、组合问题；

步骤

动态规划算法的步骤如下：

1. 刻画最优解的结构特征。
2. 递归地定义最优解的值。
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

将大问题拆分成递归小问题，并用数组保存下小问题结果。

要想解决一个动态规划问题，下面的三要素是必须的：

最优子结构，
递归的边界 。
状态转移方程 。

题目

斐波那契数列求和

斐波那契数列

f(0)=0 ；
f(1)=1 ； 
f(n)=f(n−1)+f(n−2)  ,n≥2

前几项，就是：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233......

它的每个数字都与前两个紧邻的数字相关。
递推公式：  f(n) = f(n-1) + f(n-2) ; 

这个在数学上称作【递归方程】或者【递推关系】。为了计算后面的项，它需要前面项的计算结果作为输入。

递归解法重复计算多，计算慢。

int fib(int N){
    if(N == 0 || N == 1) return N;
    return  fib(N-1) + fib(N-2); 
}

这个算法的时间复杂度为二者相乘，即 O(2^n)，指数级别，爆炸。

重叠的子问题。空间换时间，避免重复计算。保存子问题的结果，避免重复计算。

int fib(int N) {
    if (N < 1) return 0;
    if (N == 0 || N == 1) return N;
    vector<int> dp(N + 1, 0);

    dp[0] = 0 ; dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N+1; i++)
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    return dp[N];
}

其实并不需要那么长的一个 DP 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。
可以进一步优化，把空间复杂度降为 O(1)：

int fib(int N) {
    if (N < 1) return 0;
    if (N == 0 || N == 1) return N;
    int prev = 1, curr = 1;
    for (int i = 2; i <N+1; i++) {
        int sum = prev + curr;
        prev = curr;
        curr = sum;
    }
    return curr;
}