给定两个字符串x、y，设计一个算法来判断是否存在一对正整数m、n，使得x^m = y^n。

问题：（该问题转自《Algorithms（FourthEdition）》网站）

给定两个字符串x、y，设计一个算法来判断是否存在一对正整数m、n，使得x^m = y^n。这里x^m表示m个x相连接所形成的字符串。

 

在给出分析和解决方案之前我们先做一些约定：

1. 所有讨论都是在所涉及数据为正整数的前提下进行。

2. lcm(X, Y)：整数X和Y的最小公倍数

  gcd(X,Y)：整数X和Y的最大公约数

3. 如果gcd(X, Y) = 1，则X和Y互质，不对X或Y等于1的情况进行区分。

 

分析：

如果确实存在满足要求的整数对，那么很明显，字符串x和y必然具有某些共性。因为x^m和y^n分别是由若干个x和若干个y连接而成，故可以知道一个字符串的开始部分必然与另一个字符串相同，且结束部分也必然与另一个字符串相同。更具体地说，对于y^n这个串，我们知道其首部是一个x，我们把这个x去掉，之后的首部还是一个x，而且这个过程可以一直做下去，直到串y^n用完。

由以上分析可以很容易地设计出以下算法：

算法一：

构造字符串x^m，其中m =lcm(|x|,|y|) / |x|，再构造字符串y^n，其中n = lcm(|x|,|y|) / |y|，然后检查二者是否相同。或是更简单的办法，构造完x^m后，检查它是否是若干个y的连接。

这个算法非常简单，可以算做是一种Brute-Force方法，并且利用了最小公倍数和整数的性质减少了运算。但这个算法可能需要很大的时空开销，而且当最小公倍数溢出时，也需要更复杂的处理。当然，也可以不去构造字符串x^m，直接在x上循环搜索y，直到二者同时到达结尾。这样额外的空间开销降为了O(1)。但运行时间并没有降低，最坏情况下，时间复杂度为O(lcm(|x|, |y|))。而lcm可能会很大，有时会接近|x|*|y|。

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