【22-23 春学期】人工智能基础--AI作业4-无监督学习

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文章介绍了无监督学习中的关键算法，包括K均值聚类的生成式特性，KNN与K-means的区别，主成分分析PCA与线性判别分析LDA的对比，以及奇异值分解SVD在降维中的应用。此外，还讨论了特征人脸方法Eigenface、潜在语义分析LSA以及期望最大化算法EM的基本概念和用途。

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用自己的语言，解释概念、回答相关问题、编程实现算法

K均值聚类
K均值聚类是生成式还是判别式方法？
KNN VS. K-means
主成分分析
LDA VS. PCA
奇异值分解（SVD）
特征人脸方法（Eigenface）
潜在语义分析 (LSA)
期望最大化算法（EM）
K-means是最简单的EM算法？
编程实现EM算法

1. K均值聚类是一种无监督的聚类算法，是一种生成式方法。

2. KNN和K-means都是机器学习中的非监督学习方法。KNN是一种基于样本距离的分类算法，而K-means是一种聚类算法，是一种基于数据分布的算法。

3. 主成分分析（PCA）是一种降维算法，它可以找到数据中的主要方向，并将数据转换到与这些主要方向相关的坐标轴上。

4. LDA和PCA都是降维算法。LDA是一种线性判别分析方法，可以将数据投影到一个新的空间中，使得不同类别的数据点更加分开；PCA是一种主成分分析方法，可以在保留较高方差的前提下，减少数据的维度。

5. 奇异值分解（SVD）是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积：原矩阵=左奇异矩阵×奇异值矩阵×右奇异矩阵。SVD在矩阵压缩、图像压缩等领域有广泛应用。

6. 特征人脸方法（Eigenface）是一种人脸识别技术，该方法提取人脸图像的主要特征，并将其表示为基于特征向量的向量空间。

7. 潜在语义分析（LSA）是一种文本分析方法，通过对词汇在文本中的出现频率进行分析，找出其中的潜在语义，以实现文本的分类、聚类等操作。

8. 期望最大化算法（EM）是一种迭代算法，用于估计具有隐含变量的概率模型参数。该算法将未知参数看做隐含变量，通过迭代求解，逐步逼近参数的最大似然估计。

9. K-means可以看做是最简单的EM算法，它将每个数据点视为一个高斯分布的均值，通过迭代求解，将数据点分配到近似的均值中心，以实现数据聚类。

10. 实现EM算法的步骤主要包括初始化隐含变量、迭代求解隐含变量和参数估计。具体实现中，需要用到高斯混合模型的数学公式，其中包括对数似然函数、E步骤和M步骤等。

11.下面是C语言实现EM算法的代码示例。其中，为了简化代码，假设数据样本是由2个正态分布组成，且每个正态分布的均值和方差已知。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
 
// 定义数据样本的结构体
typedef struct {
    double x;
    double y;
} data_t;
 
// 定义高斯分布的结构体
typedef struct {
    double mean;
    double variance;
} gaussian_t;
 
// 计算正态分布的概率密度函数
double norm_pdf(double x, double mean, double variance) {
    double std_dev = sqrt(variance);
    double exponent = exp(-0.5 * pow((x - mean) / std_dev, 2));
    return 1 / (sqrt(2 * M_PI) * std_dev) * exponent;
}
 
// 计算E步骤，返回数据样本属于每个分布的概率
void e_step(data_t* data_set, int num_samples, gaussian_t* gaussians, int num_gaussians, double* prob) {
    int i, j;
    double sum, pdf_val;
 
    for (i = 0; i < num_samples; i++) {
        sum = 0;
        for (j = 0; j < num_gaussians; j++) {
            pdf_val = norm_pdf(data_set[i].x, gaussians[j].mean, gaussians[j].variance);
            sum += pdf_val;
            prob[i*num_gaussians+j] = pdf_val;
        }
        for (j = 0; j < num_gaussians; j++) {
            prob[i*num_gaussians+j] /= sum;
        }
    }
}
 
// 计算M步骤，返回每个高斯分布的新均值和方差
void m_step(data_t* data_set, int num_samples, gaussian_t* gaussians, int num_gaussians, double* prob) {
    int i, j;
    double sum, w_sum;
    gaussian_t gaussian;
 
    for (j = 0; j < num_gaussians; j++) {
        sum = 0;
        w_sum = 0;
        for (i = 0; i < num_samples; i++) {
            sum += prob[i*num_gaussians+j] * data_set[i].x;
            w_sum += prob[i*num_gaussians+j];
        }
        gaussian.mean = sum / w_sum;
        
        sum = 0;
        for (i = 0; i < num_samples; i++) {
            sum += prob[i*num_gaussians+j] * pow(data_set[i].x - gaussian.mean, 2);
        }
        gaussian.variance = sum / w_sum;
 
        gaussians[j] = gaussian;
    }
}
 
int main() {
    // 初始化数据集
    const int num_samples = 1000;
    data_t data_set[num_samples];
    for (int i = 0; i < num_samples; i++) {
        if (i 2 == 0) {
            data_set[i].x = 2 + (double)rand()/RAND_MAX*0.5;
            data_set[i].y = 3 + (double)rand()/RAND_MAX*0.5;
        } else {
            data_set[i].x = 10 + (double)rand()/RAND_MAX*0.5;
            data_set[i].y = 10 + (double)rand()/RAND_MAX*0.5;
        }
    }
 
    // 初始化高斯分布
    const int num_gaussians = 2;
    gaussian_t gaussians[num_gaussians];
    gaussians[0].mean = 1;
    gaussians[0].variance = 1;
    gaussians[1].mean = 9;
    gaussians[1].variance = 1;
 
    // 初始化概率数组
    double prob[num_samples*num_gaussians];
 
    // EM算法迭代
    const int max_iter = 100;
    double prev_likelihood = -INFINITY;
    double likelihood;
    int iter = 0;
 
    while (iter < max_iter) {
        // E步骤
        e_step(data_set, num_samples, gaussians, num_gaussians, prob);
        
        // 计算对数似然函数
        likelihood = 0;
        for (int i = 0; i < num_samples; i++) {
            sum = 0;
            for (int j = 0; j < num_gaussians; j++) {
                sum += norm_pdf(data_set[i].x, gaussians[j].mean, gaussians[j].variance);
            }
            likelihood += log(sum);
        }
        if (likelihood - prev_likelihood < 0.0001) {
            break;
        }
        prev_likelihood = likelihood;
 
        // M步骤
        m_step(data_set, num_samples, gaussians, num_gaussians, prob);
        iter++;
    }
 
    // 打印聚类结果
    for (int i = 0; i < num_gaussians; i++) {
        printf("Gaussiand: mean2f, variance2f\n", i+1, gaussians[i].mean, gaussians[i].variance);
    }
 
    return 0;
}