4、概率模型拟合：方法与实例解析

概率模型拟合：方法与实例解析

在数据分析和机器学习领域，拟合概率模型是一项关键任务，它涉及到根据给定的数据来确定模型的参数，并评估新数据在该模型下的概率。本文将介绍三种常见的拟合方法：最大似然法、最大后验法和贝叶斯方法，并通过单变量正态分布的实例进行详细说明。

1. 概率模型拟合方法概述

拟合概率模型到数据的过程被称为学习，因为我们通过数据来了解模型的参数。同时，计算新数据在拟合模型下的概率被称为评估预测分布。我们将考虑以下三种方法：

• 最大似然法（Maximum Likelihood, ML） ：该方法旨在找到一组参数，使得给定数据在这些参数下出现的可能性最大。
• 最大后验法（Maximum A Posteriori, MAP） ：在拟合过程中引入关于参数的先验信息，以提高参数估计的准确性。
• 贝叶斯方法（Bayesian Approach） ：不再试图估计参数的单一固定值，而是计算参数的后验概率分布。

2. 最大似然法

最大似然法的核心思想是找到一组参数 $\hat{\theta}$，使得数据 ${x_i}_{i=1}^I$ 在这些参数下的似然函数最大。似然函数 $Pr(x_i|\theta)$ 表示在参数 $\theta$ 下观察到数据点 $x_i$ 的概率。假设每个数据点是独立从分布中抽取的，那么数据集的似然函数就是各个数据点似然函数的乘积。

最大似然估计的参数计算公式为：
$\hat{\theta} {ML