49、在线函数跟踪与在线单元聚类算法研究

在线函数跟踪与在线单元聚类算法研究

在算法研究领域，在线函数跟踪和在线单元聚类是两个重要的问题，下面将详细介绍相关的算法和研究成果。

凸惩罚与Set策略

在之前的研究中发现，Med算法在处理凹惩罚函数时表现出色。现在我们将目光转向另一个受相关研究启发的算法——Set算法。

Set算法的工作流程如下：
1. 计算参数 ：基于惩罚函数Ψ，计算参数Δ = min{x : Ψ(x) ≥C}，我们称这个值为Ψ的C - 间隙。这意味着如果算法的状态与请求的距离为Δ，那么算法至少要支付成本C，并且Δ是具有此属性的最小距离。
2. 维护集合 ：Set算法会跟踪一个以当前状态为中心的连续整数集合S。初始时，S = [Set0−Δ, Set0+Δ]∩Z，其中Set0 = f(0)。
3. 阶段处理 ：在一个阶段内，Set算法保持相同的状态。与Med算法类似，Set会计算从阶段开始累积的惩罚。如果这个成本超过C，Set会按以下方式改变状态并开始一个新阶段。
4. 状态更新 ：对于集合S中的任意点x，Set计算在整个阶段都保持在x的算法Ax的累积惩罚。在所有x ∈S中，选择使得Ax ≤C/2的最左点(ℓ)和最右点(r)。设S′为[ℓ, r]中的所有整数集合。此时分两种情况：
- 如果S′非空，则将S更新为S′。
- 如果S′为空，则选择S包含范围[z −Δ, z + Δ]中的所有整数，其中z是最新请求。在这种情况下，我们称一个时期结束，下一个阶段开始一个新的时期。无论哪种情况，Set都会移动到新