21、覆盖半定规划的可行且精确算法及相关问题研究

覆盖半定规划的可行且精确算法及相关问题研究

1. 对抗 k 个谎言下的最值问题

在处理特定图论问题时，我们可以构建一个整流 (f)，其值为 (m^ )。接着按照如下方式向图 (H) 添加边：对于图 (G) 中的每条有向边 ((i^+, j^-))，添加 (f(i^+, j^-)) 条边 ({i, j})，从而得到多重图 (H^ )。添加的边的数量为 (m^ )，也就是流 (f) 的值，并且容量约束确保了 (H^ ) 中所有左右度数都被限制在 (k + 1) 以内。此外，(H^*) 的缺陷至多为 (2t(H))。

当 (k = 0) 时，引言中所概述的算法可以纳入通用算法框架。具体而言，若设定 (s = 2)，并且在步骤 2 中仅比较每个组中的两个元素，就能得到该算法。此算法的主要特点在于，每次重启仅会破坏一个组，这使得我们能够将谎言的影响控制在局部范围内。

若要通过本文的方法改进定理 1 的上界，就需要一个厚度为 (o(s)) 的排序算法。然而，命题 1 表明这样的排序算法并不存在。因此，若要改进定理 1，我们需要全新的思路。

命题 1 指出，对一个包含 (s) 个元素的集合进行排序的每个（随机化）算法，其期望厚度为 (\Omega(s))。证明过程如下：依据姚氏原理，只需证明对于随机输入，每个确定性排序算法 (A) 的期望厚度为 (\Omega(s)) 即可。我们假设集合 (X) 的未知线性排序是从所有 (s!) 种可能性中均匀随机选取的。

在每一步中，算法 (A) 会比较集合 (X) 中的两个元素 (x) 和 (y)。若在某一步开始时，元素 (x) 未曾参与过任何先前的比较，则称其为“纯净元素