20、在 k 次谎言情况下寻找最小值和最大值

在 k 次谎言情况下寻找最小值和最大值

在计算机科学领域，寻找集合中的最小值和最大值是一个基础问题。传统上，我们假定用于比较元素大小的“神谕”（oracle）总是给出正确答案。但在现实场景中，神谕可能会给出错误答案，这就引入了在谎言情况下寻找最值的问题。

1. 问题背景

考虑一个包含 n 个元素的集合 X，其元素间存在未知的全序关系 ≤。我们可以通过神谕来访问这个顺序，给定集合中的两个元素 x 和 y，神谕会告知我们 x < y 还是 x > y。

• 传统方法 ：

  • 寻找集合 X 中的最小值，最少需要 n - 1 次比较，且 n - 2 次比较在最坏情况下是不够的。
  • 若要同时找出最小值和最大值，Pohl 在 1972 年证明了 ⌈3n/2⌉ - 2 次比较是最优的。该算法先将集合元素两两配对比较，然后在“失败者”中找最小值，在“胜利者”中找最大值。

• 存在谎言的情况 ：现在假设神谕在整个计算过程中最多可能给出 k 次错误答案，这就是所谓的“在 k 次谎言情况下的计算”。在这种情况下，之前的算法就不再适用。Aigner 给出了一个上界，即 (k + O(√k))n 次比较足以解决问题。而我们的目标是进一步优化这个结果。

2. 简单算法

在证明更优算法之前，先介绍一个简单算法，它能说明主要思路，但给出的界限相对较弱。

• 通用算法框