20、对抗 k 次谎言下的最值查找算法研究

对抗 k 次谎言下的最值查找算法研究

1. 引言

在计算机科学领域，查找一个集合中的最小值和最大值是一个基础且重要的问题。对于一个具有未知全序关系 ≤ 的 n 元素集合 X，我们可以通过一个神谕（oracle）来访问这个顺序。给定集合中的两个元素 x 和 y，神谕会告知我们 x < y 还是 x > y。

常规最值查找

• 查找最小值 ：很容易发现，使用 n - 1 次比较就可以找到集合 X 中的最小元素，并且在最坏情况下，n - 2 次比较是不够的，所以 n - 1 次比较是最优的。
• 同时查找最小值和最大值 ：如果我们想要同时找到最小值和最大值，有一种更高效的方法。Pohl 证明了对于 n ≥ 2 的情况，⌈3n/2⌉ - 2 次比较是找到集合中最小值和最大值的最优次数。该算法首先将集合 X 中的元素两两配对，然后在每一对中进行比较。之后，在这些比较的“失败者”中找到最小值，在“胜利者”中找到最大值。

对抗谎言的最值查找

然而，在实际情况中，神谕可能并不完全可靠，它可能会给出错误的答案。我们考虑神谕最多给出 k 次错误答案的情况，将这种模型称为对抗 k 次谎言的计算。在这种情况下，Aigner 证明了 (k + O(√k))n 次比较总是足够的。但我们提出了一种改进算法，该算法最多使用 (k + 1 + C)n + O(k³) 次比较，其中 C 是一个常数。

已知的下界

已知的关于确定最小值和最大值所需比较次数的下界具有 (k + 1 + ck)n -