19、多仓库多旅行商问题的 3/2 近似算法解析

多仓库多旅行商问题的 3/2 近似算法解析

在解决多仓库多旅行商问题（MDMTSP）时，近似算法是一种有效的方法。本文将详细解析一种能达到 3/2 近似比的算法，深入探讨其性能分析和关键引理的证明。

1. 算法性能分析

首先来看看算法的性能表现。有如下定理表明，算法 2 能达到 3/2 的近似比，并且当 k 为常数时，具有多项式时间复杂度。

定理 3 ：对于任意常数 k ≥ 1，算法 2 在多项式时间内对 k - MDMTSP 问题实现 3/2 的近似比。

要证明算法 2 的近似比，需要先了解引理 3。

引理 3 ：考虑关于 (G, D) 的最小 DRSF F ∗，总是存在不相交的边子集 E + ⊆ E \ E(F ∗) 和 E - ⊆ E(F ∗)，且 |E +| = |E -| ≤ max{k - 2, 0}，使得 F = (F ∗ \ E -) ∪ E + 构成关于 (G, D) 的 DRSF，满足：
- (i) ℓ(F) ≤ ℓ(C∗) - ℓ(emax(C∗))；
- (ii) 存在 F 关于 C∗ 的辅助边子集 A，使得 ℓ(A) ≤ ℓ(emax(C∗))。

下面是定理 3 的证明：
- 算法 2 步骤 2 中的 ECH(F) 在多项式时间内运行。当 k 为常数时，步骤 2 中 E + 和 E - 的选择总数不大于 ( \binom{|F ∗|}{max{k - 2, 0}} \cdot \binom{|E|}{max{k - 2, 0}} )，而这个值不大于 ( a |V|^{3 max{k - 2,