2、基于数学的软件系统构建：从定理证明到欧几里得几何的计算实现

基于数学的软件系统构建：从定理证明到欧几里得几何的计算实现

1. 数学定理证明与复数分析

1.1 康托尔定理证明

Bickford 利用自己的定义在 Nuprl 中证明了康托尔定理。康托尔定理表述如下：
[
\forall z:N \to R. \forall x,y:R. ((x < y) \Rightarrow (\exists u:R. ((x < u) \& (u < y) \& (\forall n:N. u \neq z n))))
]
其中，正实数定义为：
[
rpositive(r) == \exists n:N. \delta(r;n) < r(n)
]
实数大小关系和不等关系定义为：
[
x < y == rpositive(y - x)
]
[
x \neq y == (x < y) \vee (y < x)
]

1.2 连续函数与介值定理

为了表述介值定理，需要引入区间 ([a, b]) 上连续函数的概念。连续函数定义为：
[
\exists w : R \to R. \forall \epsilon : R^+. w(\epsilon) > 0 \& (\forall x : [a, b]. \forall y : [a, b]. |x - y| \leq w(\epsilon) \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq \epsilon)
]
介值定理表述为：
[