线性代数的本质_笔记

2.向量究竟是什么

 

    物理专业：向量是空间中的箭头，由长度和方向决定。可以自由移动；数学专业：向量可以是任何东西，只保证向量加法和数乘运算有意义；计算机专业：向量是有序的数字列表，起始点在原点上。

    实际上可以用计算机专业的方式对对物理专业的表达方式进行解释，  数字列表中上面表示沿着X轴走了多远，下面表示沿着y轴走了多远，每一对数与一个向量一一对应。所以向量的加法，向量的移动，可以看做数轴上加法的拓展；向量的数乘，对向量进行拉伸或者压缩，称为缩放。

3.线性组合、张成的空间与基

 

    所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合被称为给定向量张成的空间。对于大部分的二维向量，它们张成的空间是所有二维向量的集合，当它们共线时，张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的集合。因为线性代数紧紧围绕着向量加法和数乘，所以实际上向量的张成问题是在考虑仅通过向量加法和数乘这两种基础运算，你能获得的所有可能向量集合是什么。

    两个向量在三维空间中往往构成的是一个平面，有的时候也可能是一个直线。三个向量一般在三维空间中张成了整个三维空间，可以想象一下，两个向量已经张成了一个平面，而平面沿着第三个向量进行平移，张成了整个三维空间。新增的向量如果落在了原有向量张成的空间中，那么这个向量与原先的向量是线性相关的；另一方面如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就是线性无关的。

    空间的一组基的严格定义是这样的：张成该空间的一个线性无关的向量的组合。

4.矩阵与线性变换

    

    解析“线性变换”这一术语。“变换”实际上就是函数，它接受输入内容并输出对应结果，而在线性变换中输入的是向量，输出的也是一个向量，这中间的这个函数就是变换矩阵。

  从几何的角度考虑，线性变换必须满足两点要求，首先变换前后直线依旧是直线，其次原点保持不变。值得注意的是不仅仅要考虑水平与竖直的直线变换前后是否依旧是直线，还要考虑对角线的不是水平的线。如下图所示 

图3. 一种线性变换

 

 

 

 

图4. 三种非线性变换

 

从上面的四幅图可以看出，线性变换应该是一种保持网格平行且等距分布的变换。网格平行且等距分布的性质有一个重要的推论就是，某一个向量在变换前后基向量的的系数不变，也就是说线性变换只是对基进行变换，而不是基的系数。所以如何用数值描述线性变换：实际上只需要记录两个基向量变换前后的位置即可。

    原始向量左乘一个变换矩阵就可以得到变换后的向量坐标，注意原始向量是列向量，变换矩阵的每一列代表着变换后基向量的坐标，且变换矩阵每一列中从上到下代表坐标的次序与原始向量中的次序相同。

  总之，线性变换是一种操纵空间的手段，可以看成是对空间的挤压变换，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不变。且这种线性变换只需要找到变换之后的基就可以轻松得到，以这些坐标为列构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言，而矩阵与向量的乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。因此每当你看到一个矩阵，你都可以把它解读为对空间的一种特定变换。

5.矩阵乘法与线性变换复合

    两个矩阵乘法的几何意义，就是两个线性变换的相继作用（先右面的矩阵，再左面的矩阵）

从几何意义出发，矩阵的乘法公式就很好理解了，就是把先把右矩阵的每一列看成是一个向量，然后用左矩阵对每一个向量做线性变换。

矩阵乘法的结合律也很容易理解了，（AB)C=A(BC)，因为都是从右往左相继做线性变换

6.行列式

    矩阵行列式的意义是矩阵对应的线性变换将空间中的某个区域的面积放大了多少倍。

但行列式是可以有负值的，负号的意义是空间定向发生变化（类似将一张白纸反过来），也可以这么理解：变换之前基向量i在j的右侧，变换之后i在j的左侧。此时行列式的绝对值仍然表示区域面积的缩放比例。

那么，负的缩放比例为什么很自然的用来描述定向改变呢？下面3幅图可以说明

空间定向发生改变的过程就是i向量接近j向量至重合，然后又远离j向量的过程，在这个过程中，空间先被挤压到一条直线（以二维空间为例），然后又被放大。（我觉得就是为了区别与直接对空间放大，所以这种先挤压在放大的变换，行列式为负值）

在三维空间中，行列式就是区域体积缩放的倍数。