c++数据结构6——树的基本概念

一、树的定义

树（Tree） 是由 nn（n≥0n≥0）个节点组成的有限集合。

• 空树：当 n=0n=0 时，树为空。

• 非空树：包含唯一一个 根节点，其余节点分为 mm 个互不相交的子树（m≥0m≥0）。

示例：

       A           ← 根节点
     / | \
    B  C  D       ← 子节点（子树根）
      / \
     E   F         ← 叶子节点

节点A是根节点，B、C、D是子树根，E和F是叶子节点。

二、树的核心组成部分

1. 根节点（Root）

   • 树的唯一入口，没有前驱节点。

   • 图中示例：节点A。

2. 叶子节点（Leaf）

   • 树的末端节点，没有后继节点。

   • 图中示例：节点B、E、F、D。

3. 内部节点（Internal Node）

   • 非根非叶的节点，既有前驱也有后继。

   • 图中示例：节点C。

三、树的属性

1. 节点的度（Degree）

   • 节点的子节点数量。

   • 示例：节点C的度为2（子节点E、F）。

2. 树的度

   • 树中所有节点的度的最大值。

   • 示例：若节点C的度最大为2，则树的度为2。

3. 层数（Level）与深度（Depth）

   • 层数：根节点为第1层，子节点逐层递增。

   • 深度：树的最大层数（树的高度）。

   • 示例：图中树的深度为3。

4. 兄弟节点（Siblings）

   • 同一父节点的子节点互为兄弟。

   • 示例：节点B、C、D互为兄弟。

四、子树（Subtree）

• 定义：从任意节点出发，包含该节点及其所有后代节点的树。

• 性质：子树之间互不相交。

• 示例：

       C           ← 子树根
      / \
     E   F         ← 子树节点

  以节点C为根的子树包含C、E、F。

五、树的性质总结

1. 唯一根节点：每个非空树有且仅有一个根节点。

2. 分层结构：节点按层级组织，根节点在第1层。

3. 无环连通图：树中任意两节点有唯一路径，且无环路。

六、树的遍历方法

层序遍历（广度优先遍历）

• 规则：按层从上到下，每层从左到右访问节点。

• 示例：

       A           ← 第1层
     / | \
    B  C  D       ← 第2层
      / \
     E   F         ← 第3层

  遍历顺序：A → B → C → D → E → F

七、树的应用场景

1. 文件系统：目录结构是树形（根目录→子目录→文件）。

2. 组织结构图：公司层级（CEO→部门→员工）。

3. 算法设计：二叉搜索树、堆、决策树等。

八、练习

题目：画出以下树的层序遍历结果

       1
     / | \
    2  3 4
    |  / \
    5 6  7

答案：1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7